Calcolo Esempi

$\sin (x) + e^{- x} + 3 x$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sin (x) + e^{- x} + 3 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 3.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\cos (x) + e^{u} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$\cos (x) + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 3.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (x) + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\cos (x) + e^{- x} (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 3.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\cos (x) + e^{- x} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 3.5

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$\cos (x) - 1 \cdot e^{- x} + \frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 3.6

Riscrivi $- 1 e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$\cos (x) - e^{- x} + \frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 4

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Passaggio 4.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (x) - e^{- x} + 3 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\cos (x) - e^{- x} + 3 \cdot 1$

Passaggio 4.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\cos (x) - e^{- x} + 3$

Passaggio 5

Riordina i termini.

$3 - e^{- x} + \cos (x)$