Calcolo Esempi

$\int \frac{6 x^{2} - 8 x + 6}{3 x^{3} - 6 x^{2} + 9 x} d x$

Passaggio 1

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Scomponi la frazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Scomponi $2$ da $6 x^{2} - 8 x + 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1.1

Scomponi $2$ da $6 x^{2}$ .

$\frac{2 (3 x^{2}) - 8 x + 6}{3 x^{3} - 6 x^{2} + 9 x}$

Passaggio 1.1.1.1.2

Scomponi $2$ da $- 8 x$ .

$\frac{2 (3 x^{2}) + 2 (- 4 x) + 6}{3 x^{3} - 6 x^{2} + 9 x}$

Passaggio 1.1.1.1.3

Scomponi $2$ da $6$ .

$\frac{2 (3 x^{2}) + 2 (- 4 x) + 2 (3)}{3 x^{3} - 6 x^{2} + 9 x}$

Passaggio 1.1.1.1.4

Scomponi $2$ da $2 (3 x^{2}) + 2 (- 4 x)$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 4 x) + 2 (3)}{3 x^{3} - 6 x^{2} + 9 x}$

Passaggio 1.1.1.1.5

Scomponi $2$ da $2 (3 x^{2} - 4 x) + 2 (3)$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 4 x + 3)}{3 x^{3} - 6 x^{2} + 9 x}$

Passaggio 1.1.1.2

Scomponi $3 x$ da $3 x^{3} - 6 x^{2} + 9 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Scomponi $3 x$ da $3 x^{3}$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 4 x + 3)}{3 x (x^{2}) - 6 x^{2} + 9 x}$

Passaggio 1.1.1.2.2

Scomponi $3 x$ da $- 6 x^{2}$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 4 x + 3)}{3 x (x^{2}) + 3 x (- 2 x) + 9 x}$

Passaggio 1.1.1.2.3

Scomponi $3 x$ da $9 x$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 4 x + 3)}{3 x (x^{2}) + 3 x (- 2 x) + 3 x (3)}$

Passaggio 1.1.1.2.4

Scomponi $3 x$ da $3 x (x^{2}) + 3 x (- 2 x)$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 4 x + 3)}{3 x (x^{2} - 2 x) + 3 x (3)}$

Passaggio 1.1.1.2.5

Scomponi $3 x$ da $3 x (x^{2} - 2 x) + 3 x (3)$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 4 x + 3)}{3 x (x^{2} - 2 x + 3)}$

Passaggio 1.1.2

Per ogni fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore è di 2° ordine, sono necessari $2$ termini nel numeratore. Il numero di termini richiesti nel numeratore è sempre uguale all'ordine del fattore nel denominatore.

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} - 2 x + 3}$

Passaggio 1.1.3

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $3 x (x^{2} - 2 x + 3)$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 4 x + 3) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{3 x (x^{2} - 2 x + 3)} = \frac{A (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Passaggio 1.1.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (3 x^{2} - 4 x + 3) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{3 x (x^{2} - 2 x + 3)} = \frac{A (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Passaggio 1.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 (3 x^{2} - 4 x + 3) (x (x^{2} - 2 x + 3))}{x (x^{2} - 2 x + 3)} = \frac{A (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Passaggio 1.1.5

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (3 x^{2} - 4 x + 3) (x (x^{2} - 2 x + 3))}{x (x^{2} - 2 x + 3)} = \frac{A (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Passaggio 1.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 (3 x^{2} - 4 x + 3) (x^{2} - 2 x + 3)}{x^{2} - 2 x + 3} = \frac{A (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Passaggio 1.1.6

Elimina il fattore comune di $x^{2} - 2 x + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (3 x^{2} - 4 x + 3) (x^{2} - 2 x + 3)}{x^{2} - 2 x + 3} = \frac{A (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Passaggio 1.1.6.2

Dividi $2 (3 x^{2} - 4 x + 3)$ per $1$ .

$2 (3 x^{2} - 4 x + 3) = \frac{A (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Passaggio 1.1.7

Applica la proprietà distributiva.

$2 (3 x^{2}) + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 3 = \frac{A (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Passaggio 1.1.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$6 x^{2} + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 3 = \frac{A (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Passaggio 1.1.8.2

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$6 x^{2} - 8 x + 2 \cdot 3 = \frac{A (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Passaggio 1.1.8.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$6 x^{2} - 8 x + 6 = \frac{A (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Passaggio 1.1.9

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.1.1

Elimina il fattore comune.

$6 x^{2} - 8 x + 6 = \frac{A (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Passaggio 1.1.9.1.2

Dividi $A (3 (x^{2} - 2 x + 3))$ per $1$ .

$6 x^{2} - 8 x + 6 = A (3 (x^{2} - 2 x + 3)) + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Passaggio 1.1.9.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 A (x^{2} - 2 x + 3) + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Passaggio 1.1.9.3

Applica la proprietà distributiva.

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 A x^{2} + 3 A (- 2 x) + 3 A \cdot 3 + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Passaggio 1.1.9.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.4.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 A x^{2} + 3 \cdot (- 2 A x) + 3 A \cdot 3 + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Passaggio 1.1.9.4.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 A x^{2} + 3 \cdot (- 2 A x) + 9 A + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Passaggio 1.1.9.5

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 A x^{2} - 6 A x + 9 A + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Passaggio 1.1.9.6

Elimina il fattore comune di $x^{2} - 2 x + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.6.1

Elimina il fattore comune.

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 A x^{2} - 6 A x + 9 A + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Passaggio 1.1.9.6.2

Dividi $(B x + C) (3 x)$ per $1$ .

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 A x^{2} - 6 A x + 9 A + (B x + C) (3 x)$

Passaggio 1.1.9.7

Applica la proprietà distributiva.

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 A x^{2} - 6 A x + 9 A + B x (3 x) + C (3 x)$

Passaggio 1.1.9.8

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 A x^{2} - 6 A x + 9 A + 3 B x \cdot x + C (3 x)$

Passaggio 1.1.9.9

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 A x^{2} - 6 A x + 9 A + 3 B x \cdot x + 3 C x$

Passaggio 1.1.9.10

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.10.1

Sposta $x$ .

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 A x^{2} - 6 A x + 9 A + 3 B (x \cdot x) + 3 C x$

Passaggio 1.1.9.10.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 A x^{2} - 6 A x + 9 A + 3 B x^{2} + 3 C x$

Passaggio 1.1.10

Riordina.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.10.1

Sposta $A$ .

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 x^{2} A - 6 A x + 9 A + 3 B x^{2} + 3 C x$

Passaggio 1.1.10.2

Sposta $A$ .

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 x^{2} A - 6 x A + 9 A + 3 B x^{2} + 3 C x$

Passaggio 1.1.10.3

Sposta $B$ .

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 x^{2} A - 6 x A + 9 A + 3 x^{2} B + 3 C x$

Passaggio 1.1.10.4

Sposta $9 A$ .

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 x^{2} A - 6 x A + 3 x^{2} B + 3 C x + 9 A$

Passaggio 1.1.10.5

Sposta $- 6 x A$ .

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 x^{2} A + 3 x^{2} B - 6 x A + 3 C x + 9 A$

Passaggio 1.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x^{2}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$6 = 3 A + 3 B$

Passaggio 1.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$- 8 = - 6 A + 3 C$

Passaggio 1.2.3

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$6 = 9 A$

Passaggio 1.2.4

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

$6 = 9 A$

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

$6 = 9 A$

Passaggio 1.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Risolvi per $A$ in $6 = 9 A$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Riscrivi l'equazione come $9 A = 6$ .

$9 A = 6$

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

Passaggio 1.3.1.2

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 A = 6$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.2.1

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 A = 6$ .

$\frac{9 A}{9} = \frac{6}{9}$

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

Passaggio 1.3.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{9 A}{9} = \frac{6}{9}$

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

Passaggio 1.3.1.2.2.1.2

Dividi $A$ per $1$ .

$A = \frac{6}{9}$

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

$A = \frac{6}{9}$

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

$A = \frac{6}{9}$

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

Passaggio 1.3.1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.2.3.1

Elimina il fattore comune di $6$ e $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.2.3.1.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$A = \frac{3 (2)}{9}$

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

Passaggio 1.3.1.2.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.2.3.1.2.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$A = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}$

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

Passaggio 1.3.1.2.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$A = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}$

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

Passaggio 1.3.1.2.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$A = \frac{2}{3}$

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

$A = \frac{2}{3}$

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

$A = \frac{2}{3}$

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

$A = \frac{2}{3}$

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

$A = \frac{2}{3}$

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

$A = \frac{2}{3}$

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $\frac{2}{3}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $6 = 3 A + 3 B$ con $\frac{2}{3}$ .

$6 = 3 (\frac{2}{3}) + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

Passaggio 1.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$6 = 3 (\frac{2}{3}) + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

Passaggio 1.3.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

Passaggio 1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $- 8 = - 6 A + 3 C$ con $\frac{2}{3}$ .

$- 8 = - 6 (\frac{2}{3}) + 3 C$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

Passaggio 1.3.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.4.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.4.1.1.1

Scomponi $3$ da $- 6$ .

$- 8 = 3 (- 2) (\frac{2}{3}) + 3 C$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

Passaggio 1.3.2.4.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$- 8 = 3 \cdot (- 2 (\frac{2}{3})) + 3 C$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

Passaggio 1.3.2.4.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- 8 = - 2 \cdot 2 + 3 C$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

$- 8 = - 2 \cdot 2 + 3 C$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

Passaggio 1.3.2.4.1.2

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$- 8 = - 4 + 3 C$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

$- 8 = - 4 + 3 C$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

$- 8 = - 4 + 3 C$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

$- 8 = - 4 + 3 C$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

Passaggio 1.3.3

Risolvi per $C$ in $- 8 = - 4 + 3 C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $- 4 + 3 C = - 8$ .

$- 4 + 3 C = - 8$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

Passaggio 1.3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $C$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.1

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 C = - 8 + 4$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

Passaggio 1.3.3.2.2

Somma $- 8$ e $4$ .

$3 C = - 4$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

$3 C = - 4$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

Passaggio 1.3.3.3

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 C = - 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 C = - 4$ .

$\frac{3 C}{3} = \frac{- 4}{3}$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

Passaggio 1.3.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 C}{3} = \frac{- 4}{3}$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

Passaggio 1.3.3.3.2.1.2

Dividi $C$ per $1$ .

$C = \frac{- 4}{3}$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

$C = \frac{- 4}{3}$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

$C = \frac{- 4}{3}$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

Passaggio 1.3.3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$C = - \frac{4}{3}$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

$C = - \frac{4}{3}$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

$C = - \frac{4}{3}$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

$C = - \frac{4}{3}$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

Passaggio 1.3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ con $- \frac{4}{3}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Riscrivi l'equazione come $2 + 3 B = 6$ .

$2 + 3 B = 6$

$C = - \frac{4}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

Passaggio 1.3.4.2

Sposta tutti i termini non contenenti $B$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 B = 6 - 2$

$C = - \frac{4}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

Passaggio 1.3.4.2.2

Sottrai $2$ da $6$ .

$3 B = 4$

$C = - \frac{4}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

$3 B = 4$

$C = - \frac{4}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

Passaggio 1.3.4.3

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 B = 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.3.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 B = 4$ .

$\frac{3 B}{3} = \frac{4}{3}$

$C = - \frac{4}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

Passaggio 1.3.4.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.3.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 B}{3} = \frac{4}{3}$

$C = - \frac{4}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

Passaggio 1.3.4.3.2.1.2

Dividi $B$ per $1$ .

$B = \frac{4}{3}$

$C = - \frac{4}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

$B = \frac{4}{3}$

$C = - \frac{4}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

$B = \frac{4}{3}$

$C = - \frac{4}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

$B = \frac{4}{3}$

$C = - \frac{4}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

$B = \frac{4}{3}$

$C = - \frac{4}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

Passaggio 1.3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$B = \frac{4}{3}, C = - \frac{4}{3}, A = \frac{2}{3}$

Passaggio 1.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} - 2 x + 3}$ con i valori trovati per $A$ , $B$ e $C$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x} + \frac{\frac{4}{3 x} - \frac{4}{3}}{x^{2} - 2 x + 3}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Moltiplica il numeratore e il denominatore della frazione per $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1

Moltiplica $\frac{\frac{4}{3} x - \frac{4}{3}}{x^{2} - 2 x + 3}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x} + \frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{4}{3} x - \frac{4}{3}}{x^{2} - 2 x + 3}$

Passaggio 1.5.1.2

Combina.

$\frac{\frac{2}{3}}{x} + \frac{3 (\frac{4}{3} x - \frac{4}{3})}{3 (x^{2} - 2 x + 3)}$

Passaggio 1.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\frac{2}{3}}{x} + \frac{3 (\frac{4}{3} x) + 3 (- \frac{4}{3})}{3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 3}$

Passaggio 1.5.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{4}{3}$ nel numeratore.

$\frac{\frac{2}{3}}{x} + \frac{3 (\frac{4}{3} x) + 3 (\frac{- 4}{3})}{3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 3}$

Passaggio 1.5.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{2}{3}}{x} + \frac{3 (\frac{4}{3} x) + 3 (\frac{- 4}{3})}{3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 3}$

Passaggio 1.5.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{2}{3}}{x} + \frac{3 (\frac{4}{3} x) - 4}{3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 3}$

Passaggio 1.5.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{2}{3}}{x} + \frac{3 (\frac{4}{3}) \cdot x - 4}{3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 3}$

Passaggio 1.5.4.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{2}{3}}{x} + \frac{4 x - 4}{3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 3}$

Passaggio 1.5.4.2

Scomponi $4$ da $4 x - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1

Scomponi $4$ da $4 x$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x} + \frac{4 (x) - 4}{3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 3}$

Passaggio 1.5.4.2.2

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x} + \frac{4 (x) + 4 (- 1)}{3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 3}$

Passaggio 1.5.4.2.3

Scomponi $4$ da $4 (x) + 4 (- 1)$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x} + \frac{4 (x - 1)}{3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 3}$

Passaggio 1.5.5

Scomponi $3$ da $3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.1

Scomponi $3$ da $3 x^{2}$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x} + \frac{4 (x - 1)}{3 (x^{2}) + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 3}$

Passaggio 1.5.5.2

Scomponi $3$ da $3 \cdot 3$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x} + \frac{4 (x - 1)}{3 (x^{2}) + 3 (- 2 x) + 3 (3)}$

Passaggio 1.5.5.3

Scomponi $3$ da $3 (x^{2}) + 3 (- 2 x)$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x} + \frac{4 (x - 1)}{3 (x^{2} - 2 x) + 3 (3)}$

Passaggio 1.5.5.4

Scomponi $3$ da $3 (x^{2} - 2 x) + 3 (3)$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x} + \frac{4 (x - 1)}{3 (x^{2} - 2 x + 3)}$

Passaggio 1.5.6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x} + \frac{4 (x - 1)}{3 (x^{2} - 2 x + 3)}$

Passaggio 1.5.7

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $\frac{1}{x}$ .

$\int \frac{2}{3 x} + \frac{4 (x - 1)}{3 (x^{2} - 2 x + 3)} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{2}{3 x} d x + \int \frac{4 (x - 1)}{3 (x^{2} - 2 x + 3)} d x$

Passaggio 3

Poiché $\frac{2}{3}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{2}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{2}{3} \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{4 (x - 1)}{3 (x^{2} - 2 x + 3)} d x$

Passaggio 4

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\frac{2}{3} (\ln (| x |) + C) + \int \frac{4 (x - 1)}{3 (x^{2} - 2 x + 3)} d x$

Passaggio 5

Poiché $\frac{4}{3}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{4}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{2}{3} (\ln (| x |) + C) + \frac{4}{3} \int \frac{x - 1}{x^{2} - 2 x + 3} d x$

Passaggio 6

Sia $u = x^{2} - 2 x + 3$ . Allora $d u = (2 x - 2) d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = (x - 1) d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sia $u = x^{2} - 2 x + 3$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Differenzia $x^{2} - 2 x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 3]$

Passaggio 6.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 2 x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 6.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 6.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 6.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 6.1.3.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$2 x - 2 + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 6.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.4.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x - 2 + 0$

Passaggio 6.1.4.2

Somma $2 x - 2$ e $0$ .

$2 x - 2$

Passaggio 6.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{2}{3} (\ln (| x |) + C) + \frac{4}{3} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\ln (| x |) + C) + \frac{4}{3} \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Passaggio 7.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$\frac{2}{3} (\ln (| x |) + C) + \frac{4}{3} \int \frac{1}{2 u} d u$

Passaggio 8

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{2}{3} (\ln (| x |) + C) + \frac{4}{3} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{4}{3}$ .

$\frac{2}{3} (\ln (| x |) + C) + \frac{4}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 9.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{2}{3} (\ln (| x |) + C) + \frac{4}{6} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 9.3

Elimina il fattore comune di $4$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2}{3} (\ln (| x |) + C) + \frac{2 (2)}{6} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 9.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$\frac{2}{3} (\ln (| x |) + C) + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 9.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{3} (\ln (| x |) + C) + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 9.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{3} (\ln (| x |) + C) + \frac{2}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 10

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\frac{2}{3} (\ln (| x |) + C) + \frac{2}{3} (\ln (| u |) + C)$

Passaggio 11

Semplifica.

$\frac{2}{3} \ln (| x |) + \frac{2}{3} \ln (| u |) + C$

Passaggio 12

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 2 x + 3$ .

$\frac{2}{3} \ln (| x |) + \frac{2}{3} \ln (| x^{2} - 2 x + 3 |) + C$