Calcolo Esempi

$y = \frac{x}{x + y}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x}{x + y})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x + y$ .

$\frac{(x + y) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x + y) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica $x + y$ per $1$ .

$\frac{x + y - x \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Passaggio 3.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{x + y - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

Passaggio 3.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x + y - x (1 + \frac{d}{d x} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\frac{x + y - x (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x + y - x \cdot 1 - x y'}{{(x + y)}^{2}}$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{x + y - x - x y'}{{(x + y)}^{2}}$

Passaggio 3.4.2.2

Combina i termini opposti in $x + y - x - x y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1

Sottrai $x$ da $x$ .

$\frac{y + 0 - x y'}{{(x + y)}^{2}}$

Passaggio 3.4.2.2.2

Somma $y$ e $0$ .

$\frac{y - x y'}{{(x + y)}^{2}}$

Passaggio 3.4.3

Riordina i termini.

$\frac{- x y' + y}{{(x + y)}^{2}}$

Passaggio 3.4.4

Scomponi $- 1$ da $- x y'$ .

$\frac{- (x y') + y}{{(x + y)}^{2}}$

Passaggio 3.4.5

Scomponi $- 1$ da $y$ .

$\frac{- (x y') - 1 (- y)}{{(x + y)}^{2}}$

Passaggio 3.4.6

Scomponi $- 1$ da $- (x y') - 1 (- y)$ .

$\frac{- (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}}$

Passaggio 3.4.7

Riscrivi $- (x y' - y)$ come $- 1 (x y' - y)$ .

$\frac{- 1 (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}}$

Passaggio 3.4.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{x y' - y}{{(x + y)}^{2}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = - \frac{x y' - y}{{(x + y)}^{2}}$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Moltiplica ogni lato per ${(x + y)}^{2}$ .

$y' {(x + y)}^{2} = - \frac{x y' - y}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica $- \frac{x y' - y}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Elimina il fattore comune di ${(x + y)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{x y' - y}{{(x + y)}^{2}}$ nel numeratore.

$y' {(x + y)}^{2} = \frac{- (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$y' {(x + y)}^{2} = \frac{- (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$y' {(x + y)}^{2} = - (x y' - y)$

Passaggio 5.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y' {(x + y)}^{2} = - (x y') - - y$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica $- - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y' {(x + y)}^{2} = - x y' + 1 y$

Passaggio 5.2.1.3.2

Moltiplica $y$ per $1$ .

$y' {(x + y)}^{2} = - x y' + y$

Passaggio 5.2.1.4

Sposta $x$ .

$y' {(x + y)}^{2} = - 1 y' x + y$

Passaggio 5.3

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Riscrivi $- 1 y'$ come $- y'$ .

$y' {(x + y)}^{2} = - y' x + y$

Passaggio 5.3.2

Sposta tutti i termini contenenti $y'$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Somma $y' x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y' {(x + y)}^{2} + y' x = y$

Passaggio 5.3.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Riscrivi ${(x + y)}^{2}$ come $(x + y) (x + y)$ .

$y' ((x + y) (x + y)) + y' (x) = y$

Passaggio 5.3.2.2.2

Espandi $(x + y) (x + y)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y' (x (x + y) + y (x + y)) + y' (x) = y$

Passaggio 5.3.2.2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$y' (x \cdot x + x y + y (x + y)) + y' (x) = y$

Passaggio 5.3.2.2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$y' (x \cdot x + x y + y x + y \cdot y) + y' (x) = y$

Passaggio 5.3.2.2.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$y' (x^{2} + x y + y x + y \cdot y) + y' (x) = y$

Passaggio 5.3.2.2.3.1.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$y' (x^{2} + x y + y x + y^{2}) + y' (x) = y$

Passaggio 5.3.2.2.3.2

Somma $x y$ e $y x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.3.2.1

Riordina $y$ e $x$ .

$y' (x^{2} + x y + x y + y^{2}) + y' (x) = y$

Passaggio 5.3.2.2.3.2.2

Somma $x y$ e $x y$ .

$y' (x^{2} + 2 x y + y^{2}) + y' (x) = y$

Passaggio 5.3.2.2.4

Applica la proprietà distributiva.

$y' (x^{2}) + y' (2 x y) + y' (y^{2}) + y' (x) = y$

Passaggio 5.3.2.2.5

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y' x^{2} + 2 y' x y + y' y^{2} + y' x = y$

Passaggio 5.3.3

Scomponi $y'$ da $y' x^{2} + 2 y' x y + y' y^{2} + y' x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Scomponi $y'$ da $y' x^{2}$ .

$y' (x^{2}) + 2 y' x y + y' (y^{2}) + y' (x) = y$

Passaggio 5.3.3.2

Scomponi $y'$ da $2 y' x y$ .

$y' (x^{2}) + y' (2 x y) + y' (y^{2}) + y' (x) = y$

Passaggio 5.3.3.3

Scomponi $y'$ da $y' y^{2}$ .

$y' (x^{2}) + y' (2 x y) + y' (y^{2}) + y' (x) = y$

Passaggio 5.3.3.4

Scomponi $y'$ da $y' x$ .

$y' (x^{2}) + y' (2 x y) + y' (y^{2}) + y' (x) = y$

Passaggio 5.3.3.5

Scomponi $y'$ da $y' (x^{2}) + y' (2 x y)$ .

$y' (x^{2} + 2 x y) + y' (y^{2}) + y' (x) = y$

Passaggio 5.3.3.6

Scomponi $y'$ da $y' (x^{2} + 2 x y) + y' (y^{2})$ .

$y' (x^{2} + 2 x y + y^{2}) + y' (x) = y$

Passaggio 5.3.3.7

Scomponi $y'$ da $y' (x^{2} + 2 x y + y^{2}) + y' (x)$ .

$y' (x^{2} + 2 x y + y^{2} + x) = y$

Passaggio 5.3.4

Dividi per $x^{2} + 2 x y + y^{2} + x$ ciascun termine in $y' (x^{2} + 2 x y + y^{2} + x) = y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Dividi per $x^{2} + 2 x y + y^{2} + x$ ciascun termine in $y' (x^{2} + 2 x y + y^{2} + x) = y$ .

$\frac{y' (x^{2} + 2 x y + y^{2} + x)}{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x} = \frac{y}{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x}$

Passaggio 5.3.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{2} + 2 x y + y^{2} + x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (x^{2} + 2 x y + y^{2} + x)}{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x} = \frac{y}{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x}$

Passaggio 5.3.4.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{y}{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x}$