Calcolo Esempi

$\sqrt{9 x} \sin (x)$

Passaggio 1

Riscrivi $\frac{d}{d x} [\sqrt{9 x} \sin (x)]$ come $\frac{d}{d x} [3 \sqrt{x} \sin (x)]$ .

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Passaggio 1.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{3^{2} x} \sin (x)]$

Passaggio 1.2

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{d}{d x} [3 \sqrt{x} \sin (x)]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2}} \sin (x)]$

Passaggio 2.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{\frac{1}{2}} \sin (x)$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \sin (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \sin (x)]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 4

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Passaggio 6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Passaggio 7

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Passaggio 8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$3 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Passaggio 9

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 9.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Passaggio 9.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Passaggio 10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$3 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Passaggio 11

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 12

$\sin (x)$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \frac{\sin (x) x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 13

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \frac{\sin (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 14

Semplifica.

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Passaggio 14.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x)) + 3 \frac{\sin (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14.2

$3$ e $\frac{\sin (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \frac{3 \sin (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$