Calcolo Esempi

$\ln (x^{2} (x + 1))$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2} (x + 1)$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} (x + 1)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} (x + 1)]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} (x + 1)]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} (x + 1)$ .

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} \frac{d}{d x} [x^{2} (x + 1)]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x + 1$ .

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} (x^{2} \frac{d}{d x} [x + 1] + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} (x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} (x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} (x^{2} (1 + 0) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} (x^{2} \cdot 1 + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3.4.2

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} (x^{2} + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} (x^{2} + (x + 1) (2 x))$

Passaggio 3.6

Sposta $2$ alla sinistra di $x + 1$ .

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} (x^{2} + 2 \cdot (x + 1) x)$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{x^{2} x + x^{2} \cdot 1} (x^{2} + 2 (x + 1) x)$

Passaggio 4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{x^{2} x + x^{2} \cdot 1} (x^{2} + (2 x + 2 \cdot 1) x)$

Passaggio 4.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{x^{2} x + x^{2} \cdot 1} (x^{2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x)$

Passaggio 4.4

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.4.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.4.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

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Passaggio 4.4.1.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot 1} (x^{2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x)$

Passaggio 4.4.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 1} (x^{2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x)$

Passaggio 4.4.1.2

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{1}{x^{3} + x^{2} \cdot 1} (x^{2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x)$

Passaggio 4.4.2

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{x^{3} + x^{2}} (x^{2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x)$

Passaggio 4.4.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{x^{3} + x^{2}} (x^{2} + 2 (x^{1} x) + 2 \cdot 1 x)$

Passaggio 4.4.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{x^{3} + x^{2}} (x^{2} + 2 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot 1 x)$

Passaggio 4.4.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{x^{3} + x^{2}} (x^{2} + 2 x^{1 + 1} + 2 \cdot 1 x)$

Passaggio 4.4.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{x^{3} + x^{2}} (x^{2} + 2 x^{2} + 2 \cdot 1 x)$

Passaggio 4.4.7

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{1}{x^{3} + x^{2}} (x^{2} + 2 x^{2} + 2 x)$

Passaggio 4.4.8

Somma $x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{3} + x^{2}} (3 x^{2} + 2 x)$

Passaggio 4.5

Riordina i fattori di $\frac{1}{x^{3} + x^{2}} (3 x^{2} + 2 x)$ .

$(3 x^{2} + 2 x) \frac{1}{x^{3} + x^{2}}$

Passaggio 4.6

Scomponi $x^{2}$ da $x^{3} + x^{2}$ .

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Passaggio 4.6.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{3}$ .

$(3 x^{2} + 2 x) \frac{1}{x^{2} x + x^{2}}$

Passaggio 4.6.2

Moltiplica per $1$ .

$(3 x^{2} + 2 x) \frac{1}{x^{2} x + x^{2} \cdot 1}$

Passaggio 4.6.3

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} x + x^{2} \cdot 1$ .

$(3 x^{2} + 2 x) \frac{1}{x^{2} (x + 1)}$

Passaggio 4.7

Moltiplica $3 x^{2} + 2 x$ per $\frac{1}{x^{2} (x + 1)}$ .

$\frac{3 x^{2} + 2 x}{x^{2} (x + 1)}$

Passaggio 4.8

Scomponi $x$ da $3 x^{2} + 2 x$ .

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Passaggio 4.8.1

Scomponi $x$ da $3 x^{2}$ .

$\frac{x (3 x) + 2 x}{x^{2} (x + 1)}$

Passaggio 4.8.2

Scomponi $x$ da $2 x$ .

$\frac{x (3 x) + x \cdot 2}{x^{2} (x + 1)}$

Passaggio 4.8.3

Scomponi $x$ da $x (3 x) + x \cdot 2$ .

$\frac{x (3 x + 2)}{x^{2} (x + 1)}$

Passaggio 4.9

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 4.9.1

Scomponi $x$ da $x^{2} (x + 1)$ .

$\frac{x (3 x + 2)}{x (x (x + 1))}$

Passaggio 4.9.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (3 x + 2)}{x (x (x + 1))}$

Passaggio 4.9.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 x + 2}{x (x + 1)}$