Calcolo Esempi

$y = \frac{e^{x}}{x + 1}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{(x + 1) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x + 1) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) e^{x} - e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x + 1) e^{x} - e^{x} (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{(x + 1) e^{x} - e^{x} \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{(x + 1) e^{x} - e^{x}}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x e^{x} + 1 e^{x} - e^{x}}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.2.1

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$\frac{x e^{x} + e^{x} - e^{x}}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.2.2

Combina i termini opposti in $x e^{x} + e^{x} - e^{x}$ .

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Passaggio 4.2.2.1

Sottrai $e^{x}$ da $e^{x}$ .

$\frac{x e^{x} + 0}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.2.2.2

Somma $x e^{x}$ e $0$ .

$\frac{x e^{x}}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.3

Riordina i termini.

$\frac{e^{x} x}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.4

Riordina i fattori in $\frac{e^{x} x}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{x e^{x}}{{(x + 1)}^{2}}$