Calcolo Esempi

$\frac{d}{d x} (\frac{1}{3} \sqrt{{(x^{2} + y^{2})}^{3}})$

Passaggio 1

Riscrivi $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} \sqrt{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}]$ come $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} ((x^{2} + y^{2}) \sqrt{x^{2} + y^{2}})]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Metti in evidenza ${(x^{2} + y^{2})}^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} \sqrt{{(x^{2} + y^{2})}^{2} (x^{2} + y^{2})}]$

Passaggio 1.2

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} ((x^{2} + y^{2}) \sqrt{x^{2} + y^{2}})]$

Passaggio 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ come ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} ((x^{2} + y^{2}) {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})]$

Passaggio 3

Moltiplica $x^{2} + y^{2}$ per ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica $x^{2} + y^{2}$ per ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Eleva $x^{2} + y^{2}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} ({(x^{2} + y^{2})}^{1} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})]$

Passaggio 3.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} {(x^{2} + y^{2})}^{1 + \frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2 + 1}{2}}]$

Passaggio 3.4

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{3} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Passaggio 5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Passaggio 5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Passaggio 6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Passaggio 7

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Passaggio 8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Passaggio 9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Passaggio 9.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Passaggio 10

$\frac{3}{2}$ e ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Passaggio 11

Moltiplica $\frac{3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ per $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 3} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Passaggio 12

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{6} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Passaggio 13

Scomponi $3$ da $3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 ({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}{6} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Passaggio 14

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$\frac{3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Passaggio 14.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Passaggio 14.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Passaggio 15

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Passaggio 16

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Passaggio 17

Poiché $y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $y^{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x + 0)$

Passaggio 18

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x)$

Passaggio 18.2

$2$ e $\frac{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} x$

Passaggio 18.3

$\frac{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ e $x$ .

$\frac{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x}{2}$

Passaggio 18.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x}{2}$

Passaggio 18.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.5.1

Dividi ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x$ per $1$ .

${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x$

Passaggio 18.5.2

Riordina i fattori di ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x$ .

$x {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$