Calcolo Esempi

$y = \frac{2}{\sqrt[6]{5 x^{2} - 1}}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[6]{5 x^{2} - 1}$ come ${(5 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{6}}$ .

$y = \frac{2}{{(5 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{6}}}$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{2}{{(5 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{6}}})$

Passaggio 3

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 4

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 4.1.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2}{{(5 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{6}}}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(5 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{6}}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(5 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{6}}}]$

Passaggio 4.1.2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 4.1.2.1

Riscrivi $\frac{1}{{(5 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{6}}}$ come ${({(5 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{6}})}^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d x} [{({(5 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{6}})}^{- 1}]$

Passaggio 4.1.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(5 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{6}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 4.1.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(5 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{6} \cdot - 1}]$

Passaggio 4.1.2.2.2

$\frac{1}{6}$ e $- 1$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(5 x^{2} - 1)}^{\frac{- 1}{6}}]$

Passaggio 4.1.2.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 \frac{d}{d x} [{(5 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{6}}]$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- \frac{1}{6}}$ e $g (x) = 5 x^{2} - 1$ .

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Passaggio 4.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $5 x^{2} - 1$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{6}}] \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

Passaggio 4.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - \frac{1}{6}$ .

$2 (- \frac{1}{6} u^{- \frac{1}{6} - 1} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

Passaggio 4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $5 x^{2} - 1$ .

$2 (- \frac{1}{6} {(5 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{6} - 1} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

Passaggio 4.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$2 (- \frac{1}{6} {(5 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{6} - 1 \cdot \frac{6}{6}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

Passaggio 4.4

$- 1$ e $\frac{6}{6}$ .

$2 (- \frac{1}{6} {(5 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{6} + \frac{- 1 \cdot 6}{6}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

Passaggio 4.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 (- \frac{1}{6} {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 6}{6}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

Passaggio 4.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.6.1

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$2 (- \frac{1}{6} {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{- 1 - 6}{6}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

Passaggio 4.6.2

Sottrai $6$ da $- 1$ .

$2 (- \frac{1}{6} {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{- 7}{6}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

Passaggio 4.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 (- \frac{1}{6} {(5 x^{2} - 1)}^{- \frac{7}{6}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

Passaggio 4.8

${(5 x^{2} - 1)}^{- \frac{7}{6}}$ e $\frac{1}{6}$ .

$2 (- \frac{{(5 x^{2} - 1)}^{- \frac{7}{6}}}{6} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

Passaggio 4.9

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.9.1

Sposta ${(5 x^{2} - 1)}^{- \frac{7}{6}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (- \frac{1}{6 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

Passaggio 4.9.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 (\frac{1}{6 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

Passaggio 4.10

$\frac{1}{6 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}}$ e $- 2$ .

$\frac{- 2}{6 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

Passaggio 4.11

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{6 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

Passaggio 4.12

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 4.12.1

Scomponi $2$ da $6 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}$ .

$\frac{2 (- 1)}{2 (3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}})} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

Passaggio 4.12.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}})} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

Passaggio 4.12.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

Passaggio 4.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

Passaggio 4.14

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x^{2} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- \frac{1}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 4.15

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{2}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{1}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 4.16

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- \frac{1}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 4.17

Moltiplica $2$ per $5$ .

$- \frac{1}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} (10 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 4.18

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- \frac{1}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} (10 x + 0)$

Passaggio 4.19

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.19.1

Somma $10 x$ e $0$ .

$- \frac{1}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} (10 x)$

Passaggio 4.19.2

Moltiplica $10$ per $- 1$ .

$- 10 \frac{1}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} x$

Passaggio 4.19.3

$- 10$ e $\frac{1}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}}$ .

$\frac{- 10}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} x$

Passaggio 4.19.4

$\frac{- 10}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}}$ e $x$ .

$\frac{- 10 x}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}}$

Passaggio 4.19.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{10 x}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}}$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = - \frac{10 x}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{10 x}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}}$