Calcolo Esempi

$2 x^{3} y - y - x^{4} = - 1$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (2 x^{3} y - y - x^{4}) = \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{3} y - y - x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{3} y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{3} y$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{3} y]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

$2 (x^{3} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 (x^{3} y' + y \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$2 (x^{3} y' + y (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Passaggio 2.2.5

Sposta $3$ alla sinistra di $y$ .

$2 (x^{3} y' + 3 y x^{2}) + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- y$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 (x^{3} y' + 3 y x^{2}) - \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 (x^{3} y' + 3 y x^{2}) - y' + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{4}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$2 (x^{3} y' + 3 y x^{2}) - y' - \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$2 (x^{3} y' + 3 y x^{2}) - y' - (4 x^{3})$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$2 (x^{3} y' + 3 y x^{2}) - y' - 4 x^{3}$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 (x^{3} y') + 2 (3 y x^{2}) - y' - 4 x^{3}$

Passaggio 2.5.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$2 x^{3} y' + 6 y x^{2} - y' - 4 x^{3}$

Passaggio 2.5.3

Riordina i termini.

$- 4 x^{3} + 2 x^{3} y' + 6 x^{2} y - y'$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$- 4 x^{3} + 2 x^{3} y' + 6 x^{2} y - y' = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Somma $4 x^{3}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x^{3} y' + 6 x^{2} y - y' = 4 x^{3}$

Passaggio 5.1.2

Sottrai $6 x^{2} y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x^{3} y' - y' = 4 x^{3} - 6 x^{2} y$

Passaggio 5.2

Scomponi $y'$ da $2 x^{3} y' - y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $y'$ da $2 x^{3} y'$ .

$y' (2 x^{3}) - y' = 4 x^{3} - 6 x^{2} y$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $y'$ da $- y'$ .

$y' (2 x^{3}) + y' \cdot - 1 = 4 x^{3} - 6 x^{2} y$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $y'$ da $y' (2 x^{3}) + y' \cdot - 1$ .

$y' (2 x^{3} - 1) = 4 x^{3} - 6 x^{2} y$

Passaggio 5.3

Dividi per $2 x^{3} - 1$ ciascun termine in $y' (2 x^{3} - 1) = 4 x^{3} - 6 x^{2} y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $2 x^{3} - 1$ ciascun termine in $y' (2 x^{3} - 1) = 4 x^{3} - 6 x^{2} y$ .

$\frac{y' (2 x^{3} - 1)}{2 x^{3} - 1} = \frac{4 x^{3}}{2 x^{3} - 1} + \frac{- 6 x^{2} y}{2 x^{3} - 1}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2 x^{3} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (2 x^{3} - 1)}{2 x^{3} - 1} = \frac{4 x^{3}}{2 x^{3} - 1} + \frac{- 6 x^{2} y}{2 x^{3} - 1}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{4 x^{3}}{2 x^{3} - 1} + \frac{- 6 x^{2} y}{2 x^{3} - 1}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{4 x^{3} - 6 x^{2} y}{2 x^{3} - 1}$

Passaggio 5.3.3.2

Scomponi $2 x^{2}$ da $4 x^{3} - 6 x^{2} y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1

Scomponi $2 x^{2}$ da $4 x^{3}$ .

$y' = \frac{2 x^{2} (2 x) - 6 x^{2} y}{2 x^{3} - 1}$

Passaggio 5.3.3.2.2

Scomponi $2 x^{2}$ da $- 6 x^{2} y$ .

$y' = \frac{2 x^{2} (2 x) + 2 x^{2} (- 3 y)}{2 x^{3} - 1}$

Passaggio 5.3.3.2.3

Scomponi $2 x^{2}$ da $2 x^{2} (2 x) + 2 x^{2} (- 3 y)$ .

$y' = \frac{2 x^{2} (2 x - 3 y)}{2 x^{3} - 1}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x^{2} (2 x - 3 y)}{2 x^{3} - 1}$