Calcolo Esempi

$f (x) = x^{2} + \frac{8}{x}$

Passaggio 1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + \frac{8}{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{8}{x})$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (\frac{8}{x})$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{8}{x}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f' (x) = 2 x + 8 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Passaggio 1.1.2.2

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$f' (x) = 2 x + 8 \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Passaggio 1.1.2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f' (x) = 2 x + 8 (- x^{- 2})$

Passaggio 1.1.2.4

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$f' (x) = 2 x - 8 x^{- 2}$

Passaggio 1.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 2 x - 8 \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.1

$- 8$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f' (x) = 2 x + \frac{- 8}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = 2 x - \frac{8}{x^{2}}$

Passaggio 1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - \frac{8}{x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{x^{2}})$

Passaggio 1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{x^{2}})$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{x^{2}})$

Passaggio 1.2.2.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{x^{2}})$

Passaggio 1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{8}{x^{2}}$ rispetto a $x$ è $- 8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = 2 - 8 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 1.2.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{2}}$ come ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 2 - 8 \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1}$

Passaggio 1.2.3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 - 8 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Passaggio 1.2.3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f'' (x) = 2 - 8 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Passaggio 1.2.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 - 8 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Passaggio 1.2.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 - 8 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Passaggio 1.2.3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.5.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 2 - 8 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Passaggio 1.2.3.5.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f'' (x) = 2 - 8 (- x^{- 4} (2 x))$

Passaggio 1.2.3.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 2 - 8 (- 2 x^{- 4} x)$

Passaggio 1.2.3.7

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = 2 - 8 (- 2 (x \cdot x^{- 4}))$

Passaggio 1.2.3.8

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = 2 - 8 (- 2 x^{1 - 4})$

Passaggio 1.2.3.9

Sottrai $4$ da $1$ .

$f'' (x) = 2 - 8 (- 2 x^{- 3})$

Passaggio 1.2.3.10

Moltiplica $- 2$ per $- 8$ .

$f'' (x) = 2 + 16 x^{- 3}$

Passaggio 1.2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 + 16 (\frac{1}{x^{3}})$

Passaggio 1.2.4.2

$16$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{16}{x^{3}}$

Passaggio 1.2.4.3

Riordina i termini.

$f'' (x) = \frac{16}{x^{3}} + 2$

Passaggio 1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{16}{x^{3}} + 2$ .

$\frac{16}{x^{3}} + 2$

Passaggio 2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $\frac{16}{x^{3}} + 2 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$\frac{16}{x^{3}} + 2 = 0$

Passaggio 2.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{16}{x^{3}} = - 2$

Passaggio 2.3

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$x^{3}, 1$

Passaggio 2.3.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$x^{3}$

Passaggio 2.4

Moltiplica per $x^{3}$ ciascun termine in $\frac{16}{x^{3}} = - 2$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{16}{x^{3}} = - 2$ per $x^{3}$ .

$\frac{16}{x^{3}} x^{3} = - 2 x^{3}$

Passaggio 2.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{16}{x^{3}} x^{3} = - 2 x^{3}$

Passaggio 2.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$16 = - 2 x^{3}$

Passaggio 2.5

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Riscrivi l'equazione come $- 2 x^{3} = 16$ .

$- 2 x^{3} = 16$

Passaggio 2.5.2

Sottrai $16$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 x^{3} - 16 = 0$

Passaggio 2.5.3

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1

Scomponi $- 2$ da $- 2 x^{3} - 16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.1

Scomponi $- 2$ da $- 2 x^{3}$ .

$- 2 x^{3} - 16 = 0$

Passaggio 2.5.3.1.2

Scomponi $- 2$ da $- 16$ .

$- 2 x^{3} - 2 \cdot 8 = 0$

Passaggio 2.5.3.1.3

Scomponi $- 2$ da $- 2 (x^{3}) - 2 (8)$ .

$- 2 (x^{3} + 8) = 0$

Passaggio 2.5.3.2

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$- 2 (x^{3} + 2^{3}) = 0$

Passaggio 2.5.3.3

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della somma di cubi, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$- 2 ((x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Passaggio 2.5.3.4

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.4.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.4.1.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2})) = 0$

Passaggio 2.5.3.4.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$- 2 ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)) = 0$

Passaggio 2.5.3.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- 2 (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) = 0$

Passaggio 2.5.4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x^{2} - 2 x + 4 = 0$

Passaggio 2.5.5

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.5.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 2.5.5.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 2.5.6

Imposta $x^{2} - 2 x + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.6.1

Imposta $x^{2} - 2 x + 4$ uguale a $0$ .

$x^{2} - 2 x + 4 = 0$

Passaggio 2.5.6.2

Risolvi $x^{2} - 2 x + 4 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.6.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 2.5.6.2.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 2$ e $c = 4$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.6.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.6.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.6.2.3.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.6.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.6.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.6.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.6.2.3.1.3

Sottrai $16$ da $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.6.2.3.1.4

Riscrivi $- 12$ come $- 1 (12)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.6.2.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (12)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.6.2.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.6.2.3.1.7

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.6.2.3.1.7.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.6.2.3.1.7.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.6.2.3.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.6.2.3.1.9

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.6.2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.5.6.2.3.3

Semplifica $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{3}$

Passaggio 2.5.6.2.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.6.2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.6.2.4.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.6.2.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.6.2.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.6.2.4.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.6.2.4.1.3

Sottrai $16$ da $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.6.2.4.1.4

Riscrivi $- 12$ come $- 1 (12)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.6.2.4.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (12)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.6.2.4.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.6.2.4.1.7

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.6.2.4.1.7.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.6.2.4.1.7.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.6.2.4.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.6.2.4.1.9

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.6.2.4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.5.6.2.4.3

Semplifica $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{3}$

Passaggio 2.5.6.2.4.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = 1 + i \sqrt{3}$

Passaggio 2.5.6.2.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.6.2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.6.2.5.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.6.2.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.6.2.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.6.2.5.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.6.2.5.1.3

Sottrai $16$ da $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.6.2.5.1.4

Riscrivi $- 12$ come $- 1 (12)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.6.2.5.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (12)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.6.2.5.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.6.2.5.1.7

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.6.2.5.1.7.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.6.2.5.1.7.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.6.2.5.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.6.2.5.1.9

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.6.2.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.5.6.2.5.3

Semplifica $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{3}$

Passaggio 2.5.6.2.5.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = 1 - i \sqrt{3}$

Passaggio 2.5.6.2.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$

Passaggio 2.5.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- 2 (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) = 0$ vera.

$x = - 2, 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$

Passaggio 3

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $- 2$ in $f (x) = x^{2} + \frac{8}{x}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f (- 2) = {(- 2)}^{2} + \frac{8}{- 2}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f (- 2) = 4 + \frac{8}{- 2}$

Passaggio 3.1.2.1.2

Dividi $8$ per $- 2$ .

$f (- 2) = 4 - 4$

Passaggio 3.1.2.2

Sottrai $4$ da $4$ .

$f (- 2) = 0$

Passaggio 3.1.2.3

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 3.2

Il punto trovato sostituendo $- 2$ in $f (x) = x^{2} + \frac{8}{x}$ è $(- 2, 0)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- 2, 0)$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 2)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2.1$ nell'espressione.

$f'' (- 2.1) = \frac{16}{{(- 2.1)}^{3}} + 2$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 2.1$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 2.1) = \frac{16}{- 9.261} + 2$

Passaggio 5.2.1.2

Dividi $16$ per $- 9.261$ .

$f'' (- 2.1) = - 1.72767519 + 2$

Passaggio 5.2.2

Somma $- 1.72767519$ e $2$ .

$f'' (- 2.1) = 0.2723248$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $0.2723248$ .

$0.2723248$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $- 2.1$ , la derivata seconda è $0.2723248$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- \infty, - 2)$ .

Crescente su $(- \infty, - 2)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 2, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1.9$ nell'espressione.

$f'' (- 1.9) = \frac{16}{{(- 1.9)}^{3}} + 2$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $- 1.9$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 1.9) = \frac{16}{- 6.859} + 2$

Passaggio 6.2.1.2

Dividi $16$ per $- 6.859$ .

$f'' (- 1.9) = - 2.33270155 + 2$

Passaggio 6.2.2

Somma $- 2.33270155$ e $2$ .

$f'' (- 1.9) = - 0.33270155$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 0.33270155$ .

$- 0.33270155$

Passaggio 6.3

Per $- 1.9$ , la derivata seconda è $- 0.33270155$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- 2, \infty)$ .

Decrescente su $(- 2, \infty)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso il punto di flesso è $(- 2, 0)$ .

$(- 2, 0)$

Passaggio 8