Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{x^{4} - 4 x^{3} + x^{2}}{x^{3} + x^{2} + x}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} x^{4} - 4 x^{3} + x^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3} + x^{2} + x}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x^{4} - lim_{x \to 0} 4 x^{3} + lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3} + x^{2} + x}$

Passaggio 1.1.2.2

Sposta l'esponente $4$ da $x^{4}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{4} - lim_{x \to 0} 4 x^{3} + lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3} + x^{2} + x}$

Passaggio 1.1.2.3

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{4} - 4 lim_{x \to 0} x^{3} + lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3} + x^{2} + x}$

Passaggio 1.1.2.4

Sposta l'esponente $3$ da $x^{3}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{4} - 4 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3} + x^{2} + x}$

Passaggio 1.1.2.5

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{4} - 4 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3} + x^{2} + x}$

Passaggio 1.1.2.6

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0^{4} - 4 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3} + x^{2} + x}$

Passaggio 1.1.2.6.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0^{4} - 4 \cdot 0^{3} + {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3} + x^{2} + x}$

Passaggio 1.1.2.6.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0^{4} - 4 \cdot 0^{3} + 0^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3} + x^{2} + x}$

Passaggio 1.1.2.7

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.7.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0 - 4 \cdot 0^{3} + 0^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3} + x^{2} + x}$

Passaggio 1.1.2.7.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0 - 4 \cdot 0 + 0^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3} + x^{2} + x}$

Passaggio 1.1.2.7.1.3

Moltiplica $- 4$ per $0$ .

$\frac{0 + 0 + 0^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3} + x^{2} + x}$

Passaggio 1.1.2.7.1.4

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0 + 0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{3} + x^{2} + x}$

Passaggio 1.1.2.7.2

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{3} + x^{2} + x}$

Passaggio 1.1.2.7.3

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{3} + x^{2} + x}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{3} + lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.3.2

Sposta l'esponente $3$ da $x^{3}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{3} + lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.3.3

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{3} + {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.3.4

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.4.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{0^{3} + {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.3.4.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{0^{3} + 0^{2} + lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.3.4.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{0^{3} + 0^{2} + 0}$

Passaggio 1.1.3.5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.5.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0}{0 + 0^{2} + 0}$

Passaggio 1.1.3.5.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0}{0 + 0 + 0}$

Passaggio 1.1.3.5.2

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Passaggio 1.1.3.5.3

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.5.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.6

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{4} - 4 x^{3} + x^{2}}{x^{3} + x^{2} + x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4} - 4 x^{3} + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} + x]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4} - 4 x^{3} + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} + x]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} - 4 x^{3} + x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} + x]}$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} + x]}$

Passaggio 1.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} + x]}$

Passaggio 1.3.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} + x]}$

Passaggio 1.3.4.3

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} + x]}$

Passaggio 1.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} + x]}$

Passaggio 1.3.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + x^{2} + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x}{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x}{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x}{3 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x}{3 x^{2} + 2 x + 1}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 4 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x}{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + 2 x + 1}$

Passaggio 2.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 4 x^{3} - lim_{x \to 0} 12 x^{2} + lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + 2 x + 1}$

Passaggio 2.3

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to 0} x^{3} - lim_{x \to 0} 12 x^{2} + lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + 2 x + 1}$

Passaggio 2.4

Sposta l'esponente $3$ da $x^{3}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{4 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} - lim_{x \to 0} 12 x^{2} + lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + 2 x + 1}$

Passaggio 2.5

Sposta il termine $12$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} - 12 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + 2 x + 1}$

Passaggio 2.6

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{4 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} - 12 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + 2 x + 1}$

Passaggio 2.7

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} - 12 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + 2 x + 1}$

Passaggio 2.8

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} - 12 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 1}$

Passaggio 2.9

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} - 12 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 0} x}{3 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 1}$

Passaggio 2.10

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{4 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} - 12 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 0} x}{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 1}$

Passaggio 2.11

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} - 12 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 0} x}{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1}$

Passaggio 2.12

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} - 12 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 0} x}{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 0} x + 1}$

Passaggio 3

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{4 \cdot 0^{3} - 12 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 0} x}{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 0} x + 1}$

Passaggio 3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{4 \cdot 0^{3} - 12 \cdot 0^{2} + 2 lim_{x \to 0} x}{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 0} x + 1}$

Passaggio 3.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{4 \cdot 0^{3} - 12 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0}{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 0} x + 1}$

Passaggio 3.4

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{4 \cdot 0^{3} - 12 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0}{3 \cdot 0^{2} + 2 lim_{x \to 0} x + 1}$

Passaggio 3.5

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{4 \cdot 0^{3} - 12 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0}{3 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0 + 1}$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{4 \cdot 0 - 12 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0}{3 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0 + 1}$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $4$ per $0$ .

$\frac{0 - 12 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0}{3 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0 + 1}$

Passaggio 4.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0 - 12 \cdot 0 + 2 \cdot 0}{3 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0 + 1}$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $- 12$ per $0$ .

$\frac{0 + 0 + 2 \cdot 0}{3 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0 + 1}$

Passaggio 4.1.5

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{0 + 0 + 0}{3 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0 + 1}$

Passaggio 4.1.6

Somma $0 + 0$ e $0$ .

$\frac{0 + 0}{3 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0 + 1}$

Passaggio 4.1.7

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{0}{3 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0 + 1}$

Passaggio 4.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0}{3 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 1}$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$\frac{0}{0 + 2 \cdot 0 + 1}$

Passaggio 4.2.3

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{0}{0 + 0 + 1}$

Passaggio 4.2.4

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{0}{0 + 1}$

Passaggio 4.2.5

Somma $0$ e $1$ .

$\frac{0}{1}$

Passaggio 4.3

Dividi $0$ per $1$ .

$0$