Calcolo Esempi

$\int \sqrt{x^{3}} \ln (x) d x$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \ln (x)$ e $d v = \sqrt{x^{3}}$ .

$\ln (x) (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) - \int \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

$\frac{2}{5}$ e $x^{\frac{5}{2}}$ .

$\ln (x) \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \int \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2

$\ln (x)$ e $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{5}{2}})}{5} - \int \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3

Poiché $\frac{2}{5}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{2}{5}$ fuori dall'integrale.

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{5}{2}})}{5} - (\frac{2}{5} \int x^{\frac{5}{2}} \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

$x^{\frac{5}{2}}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{5}{2}})}{5} - (\frac{2}{5} \int \frac{x^{\frac{5}{2}}}{x} d x)$

Passaggio 4.2

Sposta $x^{1}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{5}{2}})}{5} - (\frac{2}{5} \int x^{\frac{5}{2}} x^{- 1} d x)$

Passaggio 4.3

Moltiplica $x^{\frac{5}{2}}$ per $x^{- 1}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.3.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{5}{2}})}{5} - (\frac{2}{5} \int x^{\frac{5}{2} - 1} d x)$

Passaggio 4.3.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{5}{2}})}{5} - (\frac{2}{5} \int x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} d x)$

Passaggio 4.3.3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{5}{2}})}{5} - (\frac{2}{5} \int x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} d x)$

Passaggio 4.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{5}{2}})}{5} - (\frac{2}{5} \int x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}} d x)$

Passaggio 4.3.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.3.5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{5}{2}})}{5} - (\frac{2}{5} \int x^{\frac{5 - 2}{2}} d x)$

Passaggio 4.3.5.2

Sottrai $2$ da $5$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{5}{2}})}{5} - (\frac{2}{5} \int x^{\frac{3}{2}} d x)$

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{5}{2}})}{5} - \frac{2}{5} \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Passaggio 5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{5}{2}})}{5} - \frac{2}{5} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$

Passaggio 6

Semplifica la risposta.

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Passaggio 6.1

Riscrivi $\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{5}{2}})}{5} - \frac{2}{5} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$ come $\frac{2}{5} \ln (x) x^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$ .

$\frac{2}{5} \ln (x) x^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Passaggio 6.2

Semplifica.

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Passaggio 6.2.1

$\frac{2}{5}$ e $\ln (x)$ .

$\frac{2 \ln (x)}{5} x^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Passaggio 6.2.2

$\frac{2 \ln (x)}{5}$ e $x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2 \ln (x) x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Passaggio 6.2.3

Moltiplica $\frac{2}{5}$ per $\frac{2}{5}$ .

$\frac{2 \ln (x) x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Passaggio 6.2.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{2 \ln (x) x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4}{5 \cdot 5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Passaggio 6.2.5

Moltiplica $5$ per $5$ .

$\frac{2 \ln (x) x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4}{25} x^{\frac{5}{2}} + C$

$\frac{2}{5} \ln (x) x^{\frac{5}{2}} - \frac{4}{25} x^{\frac{5}{2}} + C$