Calcolo Esempi

$f (x) = 2 x + e^{2 x}$

Passaggio 1

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 2

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int 2 x + e^{2 x} d x$

Passaggio 3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int 2 x d x + \int e^{2 x} d x$

Passaggio 4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int x d x + \int e^{2 x} d x$

Passaggio 5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int e^{2 x} d x$

Passaggio 6

Sia $u = 2 x$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sia $u = 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 6.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 6.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 6.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 6.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Passaggio 7.2

$e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Passaggio 8

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{1}{2} \int e^{u} d u$

Passaggio 9

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{1}{2} (e^{u} + C)$

Passaggio 10

Semplifica.

$x^{2} + \frac{1}{2} e^{u} + C$

Passaggio 11

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$x^{2} + \frac{1}{2} e^{2 x} + C$

Passaggio 12

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = 2 x + e^{2 x}$ .

$F (x) =$ $x^{2} + \frac{1}{2} e^{2 x} + C$