Calcolo Esempi

$\frac{1}{3 \sqrt[3]{x}}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{1}{3 \sqrt[3]{x}}$ come funzione.

$f (x) = \frac{1}{3 \sqrt[3]{x}}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{1}{3 \sqrt[3]{x}} d x$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt[3]{x}} d x$

Passaggio 5

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x}$ come $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Passaggio 5.2

Sposta $x^{\frac{1}{3}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{3} \int {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x$

Passaggio 5.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 5.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \int x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d x$

Passaggio 5.3.2

$\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{3} \int x^{\frac{- 1}{3}} d x$

Passaggio 5.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{3} \int x^{- \frac{1}{3}} d x$

Passaggio 6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- \frac{1}{3}}$ rispetto a $x$ è $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C)$

Passaggio 7

Semplifica la risposta.

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Passaggio 7.1

Riscrivi $\frac{1}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C)$ come $\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Passaggio 7.2

Semplifica.

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Passaggio 7.2.1

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{3 \cdot 2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Passaggio 7.2.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{3}{6} x^{\frac{2}{3}} + C$

Passaggio 7.2.3

Elimina il fattore comune di $3$ e $6$ .

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Passaggio 7.2.3.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{3 (1)}{6} x^{\frac{2}{3}} + C$

Passaggio 7.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 7.2.3.2.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Passaggio 7.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Passaggio 7.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Passaggio 8

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{1}{3 \sqrt[3]{x}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$