Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\ln (4 x)} \sin (2 e^{t}) d t$

Passaggio 1

Trova la derivata di $\int_{0}^{\ln (4 x)} \sin (2 e^{t}) d t$ rispetto a $x$ usando il teorema fondamentale del calcolo e la regola della catena.

$\frac{d}{d x} [\ln (4 x)] \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 4 x$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 x$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 x] \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

Passaggio 2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 x] \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 x$ .

$\frac{1}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

Passaggio 3.2

Semplifica i termini.

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Passaggio 3.2.1

$4$ e $\frac{1}{4 x}$ .

$\frac{4}{4 x} \frac{d}{d x} [x] \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

Passaggio 3.2.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4}{4 x} \frac{d}{d x} [x] \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

Passaggio 3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x] \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{x} \cdot 1 \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

Passaggio 3.4

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $1$ .

$\frac{1}{x} \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

Passaggio 4

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$\frac{1}{x} \sin (2 (4 x))$

Passaggio 5

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{1}{x} \sin (8 x)$

Passaggio 6

$\frac{1}{x}$ e $\sin (8 x)$ .

$\frac{\sin (8 x)}{x}$