Calcolo Esempi

$\int \frac{\tan (x)}{\ln (\cos (x))} d x$

Passaggio 1

Sia $u_{2} = \ln (\cos (x))$ . Allora $d u_{2} = - \tan (x) d x$ , quindi $- d u_{2} = \tan (x) d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u_{2} = \ln (\cos (x))$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $\ln (\cos (x))$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \cos (x)$ .

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Passaggio 1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 1.1.2.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\cos (x)$ .

$\frac{1}{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 1.1.3

Converti da $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$\sec (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 1.1.4

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$\sec (x) (- \sin (x))$

Passaggio 1.1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.1.5.1

Riordina i fattori di $\sec (x) (- \sin (x))$ .

$- \sec (x) \sin (x)$

Passaggio 1.1.5.2

Riscrivi $\sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$- \frac{1}{\cos (x)} \sin (x)$

Passaggio 1.1.5.3

$\sin (x)$ e $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 1.1.5.4

Converti da $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$- \tan (x)$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 2

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$\int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 4

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$- (\ln (| u_{2} |) + C)$

Passaggio 5

Semplifica.

$- \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\ln (\cos (x))$ .

$- \ln (| \ln (\cos (x)) |) + C$