Calcolo Esempi

$\int 5 (\tan^{2} (x) + \tan^{4} (x)) d x$

Passaggio 1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$5 \int \tan^{2} (x) + \tan^{4} (x) d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$5 (\int \tan^{2} (x) d x + \int \tan^{4} (x) d x)$

Passaggio 3

Usando l'identità pitagorica, riscrivi $\tan^{2} (x)$ come $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$5 (\int - 1 + \sec^{2} (x) d x + \int \tan^{4} (x) d x)$

Passaggio 4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$5 (\int - 1 d x + \int \sec^{2} (x) d x + \int \tan^{4} (x) d x)$

Passaggio 5

Applica la regola costante.

$5 (- x + C + \int \sec^{2} (x) d x + \int \tan^{4} (x) d x)$

Passaggio 6

Poiché la derivata di $\tan (x)$ è $\sec^{2} (x)$ , l'integrale di $\sec^{2} (x)$ è $\tan (x)$ .

$5 (- x + C + \tan (x) + C + \int \tan^{4} (x) d x)$

Passaggio 7

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$5 (- x + C + \tan (x) + C + \int {\tan (x)}^{2 (2)} d x)$

Passaggio 7.2

Riscrivi ${\tan (x)}^{2 (2)}$ come un elevamento a potenza.

$5 (- x + C + \tan (x) + C + \int {(\tan^{2} (x))}^{2} d x)$

Passaggio 8

Usando l'identità pitagorica, riscrivi $\tan^{2} (x)$ come $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$5 (- x + C + \tan (x) + C + \int {(- 1 + \sec^{2} (x))}^{2} d x)$

Passaggio 9

Semplifica.

$5 (- x + C + \tan (x) + C + \int 1 - 2 \sec^{2} (x) + \sec^{4} (x) d x)$

Passaggio 10

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$5 (- x + C + \tan (x) + C + \int d x + \int - 2 \sec^{2} (x) d x + \int \sec^{4} (x) d x)$

Passaggio 11

Applica la regola costante.

$5 (- x + C + \tan (x) + C + x + C + \int - 2 \sec^{2} (x) d x + \int \sec^{4} (x) d x)$

Passaggio 12

Semplifica.

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Passaggio 12.1

Somma $- x$ e $x$ .

$5 (C + \tan (x) + C + 0 + C + \int - 2 \sec^{2} (x) d x + \int \sec^{4} (x) d x)$

Passaggio 12.2

Somma $C + \tan (x) + C$ e $0$ .

$5 (C + \tan (x) + C + C + \int - 2 \sec^{2} (x) d x + \int \sec^{4} (x) d x)$

Passaggio 13

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$5 (C + \tan (x) + C + C - 2 \int \sec^{2} (x) d x + \int \sec^{4} (x) d x)$

Passaggio 14

Poiché la derivata di $\tan (x)$ è $\sec^{2} (x)$ , l'integrale di $\sec^{2} (x)$ è $\tan (x)$ .

$5 (C + \tan (x) + C + C - 2 (\tan (x) + C) + \int \sec^{4} (x) d x)$

Passaggio 15

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 15.1

Riscrivi $4$ come $2$ più $2$ .

$5 (C + \tan (x) + C + C - 2 (\tan (x) + C) + \int {\sec (x)}^{2 + 2} d x)$

Passaggio 15.2

Riscrivi ${\sec (x)}^{2 + 2}$ come $\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$ .

$5 (C + \tan (x) + C + C - 2 (\tan (x) + C) + \int \sec^{2} (x) \sec^{2} (x) d x)$

Passaggio 16

Usando l'identità pitagorica, riscrivi $\sec^{2} (x)$ come $1 + \tan^{2} (x)$ .

$5 (C + \tan (x) + C + C - 2 (\tan (x) + C) + \int (1 + \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x) d x)$

Passaggio 17

Sia $u = \tan (x)$ . Allora $d u = \sec^{2} (x) d x$ , quindi $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 17.1

Sia $u = \tan (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 17.1.1

Differenzia $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Passaggio 17.1.2

La derivata di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Passaggio 17.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$5 (C + \tan (x) + C + C - 2 (\tan (x) + C) + \int 1 + u^{2} d u)$

Passaggio 18

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$5 (C + \tan (x) + C + C - 2 (\tan (x) + C) + \int d u + \int u^{2} d u)$

Passaggio 19

Applica la regola costante.

$5 (C + \tan (x) + C + C - 2 (\tan (x) + C) + u + C + \int u^{2} d u)$

Passaggio 20

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$5 (C + \tan (x) + C + C - 2 (\tan (x) + C) + u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

Passaggio 21

Semplifica.

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Passaggio 21.1

$\frac{1}{3}$ e $u^{3}$ .

$5 (C + \tan (x) + C + C - 2 (\tan (x) + C) + u + C + \frac{u^{3}}{3} + C)$

Passaggio 21.2

Semplifica.

$5 (- \tan (x) + u + \frac{u^{3}}{3}) + C$

Passaggio 22

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\tan (x)$ .

$5 (- \tan (x) + \tan (x) + \frac{\tan^{3} (x)}{3}) + C$

Passaggio 23

Somma $- \tan (x)$ e $\tan (x)$ .

$5 (0 + \frac{\tan^{3} (x)}{3}) + C$

Passaggio 24

Riordina i termini.

$5 (0 + \frac{1}{3} \tan^{3} (x)) + C$