Calcolo Esempi

$\int \frac{x + 3}{4 x + 4} d x$

Passaggio 1

Dividi $x + 3$ per $4 x + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$4 x$

$4$

$x$

$3$

Passaggio 1.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $4 x$ .

					$\frac{1}{4}$
	$4 x$	+	$4$		$x$	+	$3$

Passaggio 1.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$\frac{1}{4}$
$4 x$	+	$4$		$x$	+	$3$
			+	$x$	+	$1$

Passaggio 1.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x + 1$

				$\frac{1}{4}$
$4 x$	+	$4$		$x$	+	$3$
			-	$x$	-	$1$

Passaggio 1.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$\frac{1}{4}$
$4 x$	+	$4$		$x$	+	$3$
			-	$x$	-	$1$
					+	$2$

Passaggio 1.6

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\int \frac{1}{4} + \frac{2}{4 x + 4} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{1}{4} d x + \int \frac{2}{4 x + 4} d x$

Passaggio 3

Elimina il fattore comune di $2$ e $4 x + 4$ .

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Passaggio 3.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\int \frac{1}{4} d x + \int \frac{2 (1)}{4 x + 4} d x$

Passaggio 3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Scomponi $2$ da $4 x$ .

$\int \frac{1}{4} d x + \int \frac{2 (1)}{2 (2 x) + 4} d x$

Passaggio 3.2.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$\int \frac{1}{4} d x + \int \frac{2 \cdot 1}{2 (2 x) + 2 \cdot 2} d x$

Passaggio 3.2.3

Scomponi $2$ da $2 (2 x) + 2 (2)$ .

$\int \frac{1}{4} d x + \int \frac{2 (1)}{2 (2 x + 2)} d x$

Passaggio 3.2.4

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{1}{4} d x + \int \frac{2 \cdot 1}{2 (2 x + 2)} d x$

Passaggio 3.2.5

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{1}{4} d x + \int \frac{1}{2 x + 2} d x$

Passaggio 4

Applica la regola costante.

$\frac{1}{4} x + C + \int \frac{1}{2 x + 2} d x$

Passaggio 5

Sia $u = 2 x + 2$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sia $u = 2 x + 2$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 5.1.1

Differenzia $2 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 2]$

Passaggio 5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 5.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Passaggio 5.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 5.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 5.1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 5.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 5.1.4.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 + 0$

Passaggio 5.1.4.2

Somma $2$ e $0$ .

$2$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{4} x + C + \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} x + C + \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Passaggio 6.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$\frac{1}{4} x + C + \int \frac{1}{2 u} d u$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} x + C + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 8

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{4} x + C + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Passaggio 9

Semplifica.

$\frac{1}{4} x + \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Passaggio 10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x + 2$ .

$\frac{1}{4} x + \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 2 |) + C$