Calcolo Esempi

$y = \sin (\frac{1}{x})$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\sin (\frac{1}{x}))$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 3.1.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{1}{x}$ .

$\cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della potenza.

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Passaggio 3.2.1

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$\cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$\cos (\frac{1}{x}) (- x^{- 2})$

Passaggio 3.3

Semplifica.

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Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\cos (\frac{1}{x}) (- \frac{1}{x^{2}})$

Passaggio 3.3.2

$\cos (\frac{1}{x})$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{\cos (\frac{1}{x})}{x^{2}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = - \frac{\cos (\frac{1}{x})}{x^{2}}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\cos (\frac{1}{x})}{x^{2}}$