Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0^{+}} - x \ln (x)$

Passaggio 1

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} x \ln (x)$

Passaggio 2

Riscrivi $x \ln (x)$ come $\frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}}$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}}$

Passaggio 3

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 3.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 3.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}$

Passaggio 3.1.2

Mentre $x$ tende a $0$ da destra, $\ln (x)$ diminuisce senza limite.

$- \frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}$

Passaggio 3.1.3

Poiché il numeratore è una costante e il denominatore tende a $0$ quando $x$ tende a $0$ da destra, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a infinito.

$- \frac{- \infty}{\infty}$

Passaggio 3.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$- \frac{- \infty}{\infty}$

Passaggio 3.2

Poiché $\frac{- \infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Passaggio 3.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Passaggio 3.3.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Passaggio 3.3.3

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}$

Passaggio 3.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- x^{- 2}}$

Passaggio 3.3.5

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{x^{2}}}$

Passaggio 3.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \cdot - 1 x^{2}$

Passaggio 3.5

$\frac{1}{x}$ e $x^{2}$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x^{2}}{x}$

Passaggio 3.6

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

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Passaggio 3.6.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x}$

Passaggio 3.6.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.6.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x^{1}}$

Passaggio 3.6.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}$

Passaggio 3.6.2.3

Elimina il fattore comune.

$- lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}$

Passaggio 3.6.2.4

Riscrivi l'espressione.

$- lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x}{1}$

Passaggio 3.6.2.5

Dividi $x$ per $1$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} - x$

Passaggio 4

Calcola il limite.

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Passaggio 4.1

Calcola il limite.

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Passaggio 4.1.1

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$1 lim_{x \to 0^{+}} x$

Passaggio 4.1.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$- 0$

Passaggio 4.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$0$