Calcolo Esempi

$y = \frac{1 - 2 x^{2}}{2 x^{2} - 5}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1 - 2 x^{2}}{2 x^{2} - 5})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 1 - 2 x^{2}$ e $g (x) = 2 x^{2} - 5$ .

$\frac{(2 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}] - (1 - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5]}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - 2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$\frac{(2 x^{2} - 5) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]) - (1 - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5]}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(2 x^{2} - 5) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]) - (1 - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5]}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Passaggio 3.2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$\frac{(2 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] - (1 - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5]}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Passaggio 3.2.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(2 x^{2} - 5) (- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (1 - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5]}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Passaggio 3.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(2 x^{2} - 5) (- 2 (2 x)) - (1 - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5]}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Passaggio 3.2.6

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$\frac{(2 x^{2} - 5) (- 4 x) - (1 - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5]}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Passaggio 3.2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{2} - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{(2 x^{2} - 5) (- 4 x) - (1 - 2 x^{2}) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Passaggio 3.2.8

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(2 x^{2} - 5) (- 4 x) - (1 - 2 x^{2}) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Passaggio 3.2.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(2 x^{2} - 5) (- 4 x) - (1 - 2 x^{2}) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Passaggio 3.2.10

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{(2 x^{2} - 5) (- 4 x) - (1 - 2 x^{2}) (4 x + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Passaggio 3.2.11

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(2 x^{2} - 5) (- 4 x) - (1 - 2 x^{2}) (4 x + 0)}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Passaggio 3.2.12

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.12.1

Somma $4 x$ e $0$ .

$\frac{(2 x^{2} - 5) (- 4 x) - (1 - 2 x^{2}) (4 x)}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Passaggio 3.2.12.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{(2 x^{2} - 5) (- 4 x) - 4 (1 - 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} (- 4 x) - 5 (- 4 x) - 4 (1 - 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} (- 4 x) - 5 (- 4 x) + (- 4 \cdot 1 - 4 (- 2 x^{2})) x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} (- 4 x) - 5 (- 4 x) - 4 \cdot 1 x - 4 (- 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2 \cdot - 4 x^{2} x - 5 (- 4 x) - 4 \cdot 1 x - 4 (- 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.1.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 \cdot - 4 (x \cdot x^{2}) - 5 (- 4 x) - 4 \cdot 1 x - 4 (- 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.1.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 \cdot - 4 (x^{1} x^{2}) - 5 (- 4 x) - 4 \cdot 1 x - 4 (- 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.1.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 \cdot - 4 x^{1 + 2} - 5 (- 4 x) - 4 \cdot 1 x - 4 (- 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.1.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{2 \cdot - 4 x^{3} - 5 (- 4 x) - 4 \cdot 1 x - 4 (- 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.1.3

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$\frac{- 8 x^{3} - 5 (- 4 x) - 4 \cdot 1 x - 4 (- 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.1.4

Moltiplica $- 4$ per $- 5$ .

$\frac{- 8 x^{3} + 20 x - 4 \cdot 1 x - 4 (- 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.1.5

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$\frac{- 8 x^{3} + 20 x - 4 x - 4 (- 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.1.6

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.1.6.1

Sposta $x$ .

$\frac{- 8 x^{3} + 20 x - 4 x - 4 (- 2 (x \cdot x^{2}))}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.1.6.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.1.6.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 8 x^{3} + 20 x - 4 x - 4 (- 2 (x^{1} x^{2}))}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.1.6.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 8 x^{3} + 20 x - 4 x - 4 (- 2 x^{1 + 2})}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.1.6.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{- 8 x^{3} + 20 x - 4 x - 4 (- 2 x^{3})}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.1.7

Moltiplica $- 2$ per $- 4$ .

$\frac{- 8 x^{3} + 20 x - 4 x + 8 x^{3}}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.2

Combina i termini opposti in $- 8 x^{3} + 20 x - 4 x + 8 x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.2.1

Somma $- 8 x^{3}$ e $8 x^{3}$ .

$\frac{20 x - 4 x + 0}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.2.2

Somma $20 x - 4 x$ e $0$ .

$\frac{20 x - 4 x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.3

Sottrai $4 x$ da $20 x$ .

$\frac{16 x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{16 x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{16 x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$