Calcolo Esempi

$\int \frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 7}} d x$

Passaggio 1

Sia $x = \frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3}$ è positivo.

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{9 {(\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t))}^{2} - 7}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica $\sqrt{9 {(\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t))}^{2} - 7}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

$\frac{\sqrt{7}}{3}$ e $\sec (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{9 {(\frac{\sqrt{7} \sec (t)}{3})}^{2} - 7}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.1.2

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.2.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{7} \sec (t)}{3}$ .

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{9 \frac{{(\sqrt{7} \sec (t))}^{2}}{3^{2}} - 7}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.1.2.2

Applica la regola del prodotto a $\sqrt{7} \sec (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{9 \frac{{\sqrt{7}}^{2} \sec^{2} (t)}{3^{2}} - 7}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.1.3

Riscrivi ${\sqrt{7}}^{2}$ come $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{7}$ come $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{9 \frac{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2} \sec^{2} (t)}{3^{2}} - 7}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.1.3.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{9 \frac{7^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sec^{2} (t)}{3^{2}} - 7}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.1.3.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{9 \frac{7^{\frac{2}{2}} \sec^{2} (t)}{3^{2}} - 7}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.1.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{9 \frac{7^{\frac{2}{2}} \sec^{2} (t)}{3^{2}} - 7}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.1.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{9 \frac{7^{1} \sec^{2} (t)}{3^{2}} - 7}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.1.3.5

Calcola l'esponente.

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{9 \frac{7 \sec^{2} (t)}{3^{2}} - 7}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.1.4

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{9 \frac{7 \sec^{2} (t)}{9} - 7}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.1.5

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{9 \frac{7 \sec^{2} (t)}{9} - 7}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{7 \sec^{2} (t) - 7}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $7$ da $7 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{7 (\sec^{2} (t)) - 7}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.3

Scomponi $7$ da $- 7$ .

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{7 \sec^{2} (t) + 7 \cdot - 1}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.4

Scomponi $7$ da $7 \sec^{2} (t) + 7 \cdot - 1$ .

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{7 (\sec^{2} (t) - 1)}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.5

Applica l'identità pitagorica.

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{7 \tan^{2} (t)}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.6

Riordina $7$ e $\tan^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{\tan^{2} (t) \cdot 7}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.1.7

Estrai i termini dal radicale.

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) (\tan (t) \sqrt{7})} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.2

Semplifica.

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Passaggio 2.2.1

$\frac{\sqrt{7}}{3}$ e $\sec (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7} \sec (t)}{3} (\tan (t) \sqrt{7})} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.2.2

$\tan (t)$ e $\frac{\sqrt{7} \sec (t)}{3}$ .

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t) (\sqrt{7} \sec (t))}{3} \sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.2.3

$\frac{\tan (t) (\sqrt{7} \sec (t))}{3}$ e $\sqrt{7}$ .

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t) (\sqrt{7} \sec (t)) \sqrt{7}}{3}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.2.4

Eleva $\sqrt{7}$ alla potenza di $1$ .

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t) ({\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7} \sec (t))}{3}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.2.5

Eleva $\sqrt{7}$ alla potenza di $1$ .

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t) ({\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1} \sec (t))}{3}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.2.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t) ({\sqrt{7}}^{1 + 1} \sec (t))}{3}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.2.7

Somma $1$ e $1$ .

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t) ({\sqrt{7}}^{2} \sec (t))}{3}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.2.8

Riscrivi ${\sqrt{7}}^{2}$ come $7$ .

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Passaggio 2.2.8.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{7}$ come $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t) ({(7^{\frac{1}{2}})}^{2} \sec (t))}{3}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.2.8.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t) (7^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sec (t))}{3}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.2.8.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t) (7^{\frac{2}{2}} \sec (t))}{3}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.2.8.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.2.8.4.1

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t) (7^{\frac{2}{2}} \sec (t))}{3}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.2.8.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t) (7^{1} \sec (t))}{3}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.2.8.5

Calcola l'esponente.

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t) (7 \sec (t))}{3}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.2.9

Sposta $7$ alla sinistra di $\tan (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{7 \cdot \tan (t) \sec (t)}{3}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.2.10

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{7 \tan (t) \sec (t)}{3}$ .

$\int 1 \frac{3}{7 \tan (t) \sec (t)} \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.2.11

Moltiplica $\frac{3}{7 \tan (t) \sec (t)}$ per $1$ .

$\int \frac{3}{7 \tan (t) \sec (t)} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Passaggio 2.2.12

Moltiplica $\frac{3}{7 \tan (t) \sec (t)}$ per $\frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3}$ .

$\int \frac{3 (\sqrt{7} \sec (t) \tan (t))}{7 \tan (t) \sec (t) \cdot 3} d t$

Passaggio 2.2.13

Moltiplica $3$ per $7$ .

$\int \frac{3 (\sqrt{7} \sec (t) \tan (t))}{21 \tan (t) \sec (t)} d t$

Passaggio 2.2.14

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.2.14.1

Scomponi $3$ da $21 \tan (t) \sec (t)$ .

$\int \frac{3 (\sqrt{7} \sec (t) \tan (t))}{3 (7 \tan (t) \sec (t))} d t$

Passaggio 2.2.14.2

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{3 (\sqrt{7} \sec (t) \tan (t))}{3 (7 \tan (t) \sec (t))} d t$

Passaggio 2.2.14.3

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{7 \tan (t) \sec (t)} d t$

Passaggio 2.2.15

Elimina il fattore comune di $\sec (t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.15.1

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{7 \tan (t) \sec (t)} d t$

Passaggio 2.2.15.2

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{\sqrt{7} \tan (t)}{7 \tan (t)} d t$

Passaggio 2.2.16

Elimina il fattore comune di $\tan (t)$ .

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Passaggio 2.2.16.1

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{\sqrt{7} \tan (t)}{7 \tan (t)} d t$

Passaggio 2.2.16.2

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{\sqrt{7}}{7} d t$

Passaggio 3

Applica la regola costante.

$\frac{\sqrt{7}}{7} t + C$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $arcsec (\frac{3 x}{\sqrt{7}})$ .

$\frac{\sqrt{7}}{7} arcsec (\frac{3 x}{\sqrt{7}}) + C$

Passaggio 4.2

Riordina i termini.

$\frac{\sqrt{7}}{7} arcsec (\frac{3}{\sqrt{7}} x) + C$