Calcolo Esempi

$\int_{1}^{\infty} 4 x e^{- x^{2}} d x$

Passaggio 1

Scrivi l'integrale come un limite per $t$ tendente a $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} 4 x e^{- x^{2}} d x$

Passaggio 2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$lim_{t \to \infty} 4 \int_{1}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

Passaggio 3

Sia $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Allora $d u_{2} = - 2 x e^{- x^{2}} d x$ , quindi $- \frac{1}{2} d u_{2} = x e^{- x^{2}} d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sia $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Differenzia $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Passaggio 3.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 3.1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 3.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $- x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 3.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

Passaggio 3.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Passaggio 3.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.4.1

Riordina i fattori di $e^{- x^{2}} (- 2 x)$ .

$- 2 e^{- x^{2}} x$

Passaggio 3.1.4.2

Riordina i fattori in $- 2 e^{- x^{2}} x$ .

$- 2 x e^{- x^{2}}$

Passaggio 3.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u_{2} = e^{- x^{2}}$ .

$u_{lower} = e^{- 1^{2}}$

Passaggio 3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$u_{lower} = e^{- 1 \cdot 1}$

Passaggio 3.3.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$u_{lower} = e^{- 1}$

Passaggio 3.3.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u_{lower} = \frac{1}{e}$

Passaggio 3.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u_{2} = e^{- x^{2}}$ .

$u_{upper} = e^{- t^{2}}$

Passaggio 3.5

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = \frac{1}{e}$

$u_{upper} = e^{- t^{2}}$

Passaggio 3.6

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$lim_{t \to \infty} 4 \int_{\frac{1}{e}}^{e^{- t^{2}}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Passaggio 4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{t \to \infty} 4 \int_{\frac{1}{e}}^{e^{- t^{2}}} - \frac{1}{2} d u_{2}$

Passaggio 5

Applica la regola costante.

$lim_{t \to \infty} 4 (- \frac{1}{2} u_{2}]_{\frac{1}{e}}^{e^{- t^{2}}})$

Passaggio 6

Semplifica la risposta.

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Passaggio 6.1

$u_{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} 4 (- \frac{u_{2}}{2}]_{\frac{1}{e}}^{e^{- t^{2}}})$

Passaggio 6.2

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 6.2.1

Calcola $- \frac{u_{2}}{2}$ per $e^{- t^{2}}$ e per $\frac{1}{e}$ .

$lim_{t \to \infty} 4 ((- \frac{e^{- t^{2}}}{2}) + \frac{\frac{1}{e}}{2})$

Passaggio 6.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Riscrivi $\frac{\frac{1}{e}}{2}$ come un prodotto.

$lim_{t \to \infty} 4 (- \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{e} \cdot \frac{1}{2})$

Passaggio 6.2.2.2

Moltiplica $\frac{1}{e}$ per $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} 4 (- \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{e \cdot 2})$

Passaggio 6.2.2.3

Sposta $2$ alla sinistra di $e$ .

$lim_{t \to \infty} 4 (- \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2 e})$

Passaggio 7

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $t$ .

$4 lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2 e}$

Passaggio 7.1.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $t$ tende a $\infty$ .

$4 (- lim_{t \to \infty} \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{2 e})$

Passaggio 7.1.3

Sposta il termine $\frac{1}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $t$ .

$4 (- \frac{1}{2} lim_{t \to \infty} e^{- t^{2}} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{2 e})$

Passaggio 7.2

Poiché l'esponente $- t^{2}$ tende a $- \infty$ , la quantità $e^{- t^{2}}$ tende a $0$ .

$4 (- \frac{1}{2} \cdot 0 + lim_{t \to \infty} \frac{1}{2 e})$

Passaggio 7.3

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Calcola il limite di $\frac{1}{2 e}$ che è costante, mentre $t$ tende a $\infty$ .

$4 (- \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2 e})$

Passaggio 7.3.2

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1

Moltiplica $- \frac{1}{2} \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$4 (0 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{2 e})$

Passaggio 7.3.2.1.2

Moltiplica $0$ per $\frac{1}{2}$ .

$4 (0 + \frac{1}{2 e})$

Passaggio 7.3.2.2

Somma $0$ e $\frac{1}{2 e}$ .

$4 \frac{1}{2 e}$

Passaggio 7.3.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.3.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$2 (2) \frac{1}{2 e}$

Passaggio 7.3.2.3.2

Scomponi $2$ da $2 e$ .

$2 (2) \frac{1}{2 (e)}$

Passaggio 7.3.2.3.3

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot 2 \frac{1}{2 e}$

Passaggio 7.3.2.3.4

Riscrivi l'espressione.

$2 \frac{1}{e}$

Passaggio 7.3.2.4

$2$ e $\frac{1}{e}$ .

$\frac{2}{e}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{2}{e}$

Forma decimale:

$0.73575888 \dots$