Calcolo Esempi

$- 2 e^{3 x} \sin (2 x) + 3 e^{3 x} \cos (2 x)$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 2 e^{3 x} \sin (2 x) + 3 e^{3 x} \cos (2 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 2 e^{3 x} \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x} \cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 e^{3 x} \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x} \cos (2 x)]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 e^{3 x} \sin (2 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 e^{3 x} \sin (2 x)$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [e^{3 x} \sin (2 x)]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [e^{3 x} \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x} \cos (2 x)]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = e^{3 x}$ e $g (x) = \sin (2 x)$ .

$- 2 (e^{3 x} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]) + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x} \cos (2 x)]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $2 x$ .

$- 2 (e^{3 x} (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]) + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x} \cos (2 x)]$

Passaggio 2.3.2

La derivata di $\sin (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\cos (u_{1})$ .

$- 2 (e^{3 x} (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]) + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x} \cos (2 x)]$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x$ .

$- 2 (e^{3 x} (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]) + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x} \cos (2 x)]$

Passaggio 2.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 (e^{3 x} (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]) + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x} \cos (2 x)]$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 (e^{3 x} (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]) + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x} \cos (2 x)]$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $3 x$ .

$- 2 (e^{3 x} (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \sin (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [3 x])) + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x} \cos (2 x)]$

Passaggio 2.6.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$- 2 (e^{3 x} (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \sin (2 x) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x])) + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x} \cos (2 x)]$

Passaggio 2.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $3 x$ .

$- 2 (e^{3 x} (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \sin (2 x) (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])) + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x} \cos (2 x)]$

Passaggio 2.7

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 (e^{3 x} (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \sin (2 x) (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]))) + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x} \cos (2 x)]$

Passaggio 2.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 (e^{3 x} (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \sin (2 x) (e^{3 x} (3 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x} \cos (2 x)]$

Passaggio 2.9

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- 2 (e^{3 x} (\cos (2 x) \cdot 2) + \sin (2 x) (e^{3 x} (3 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x} \cos (2 x)]$

Passaggio 2.10

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (2 x)$ .

$- 2 (e^{3 x} (2 \cdot \cos (2 x)) + \sin (2 x) (e^{3 x} (3 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x} \cos (2 x)]$

Passaggio 2.11

Moltiplica $3$ per $1$ .

$- 2 (e^{3 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (e^{3 x} \cdot 3)) + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x} \cos (2 x)]$

Passaggio 2.12

Sposta $3$ alla sinistra di $e^{3 x}$ .

$- 2 (e^{3 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (3 e^{3 x})) + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x} \cos (2 x)]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 e^{3 x} \cos (2 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 e^{3 x} \cos (2 x)$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [e^{3 x} \cos (2 x)]$ .

$- 2 (e^{3 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (3 e^{3 x})) + 3 \frac{d}{d x} [e^{3 x} \cos (2 x)]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = e^{3 x}$ e $g (x) = \cos (2 x)$ .

$- 2 (e^{3 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}])$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{3}$ come $2 x$ .

$- 2 (e^{3 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}])$

Passaggio 3.3.2

La derivata di $\cos (u_{3})$ rispetto a $u_{3}$ è $- \sin (u_{3})$ .

$- 2 (e^{3 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}])$

Passaggio 3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $2 x$ .

$- 2 (e^{3 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}])$

Passaggio 3.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 (e^{3 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}])$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 (e^{3 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}])$

Passaggio 3.6

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{4}$ come $3 x$ .

$- 2 (e^{3 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)) + \cos (2 x) (\frac{d}{d u_{4}} [e^{u_{4}}] \frac{d}{d x} [3 x]))$

Passaggio 3.6.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{4}} [a^{u_{4}}]$ è $a^{u_{4}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$- 2 (e^{3 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)) + \cos (2 x) (e^{u_{4}} \frac{d}{d x} [3 x]))$

Passaggio 3.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{4}$ con $3 x$ .

$- 2 (e^{3 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)) + \cos (2 x) (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]))$

Passaggio 3.7

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 (e^{3 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)) + \cos (2 x) (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])))$

Passaggio 3.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 (e^{3 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)) + \cos (2 x) (e^{3 x} (3 \cdot 1)))$

Passaggio 3.9

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- 2 (e^{3 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (- \sin (2 x) \cdot 2) + \cos (2 x) (e^{3 x} (3 \cdot 1)))$

Passaggio 3.10

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 (e^{3 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x) (e^{3 x} (3 \cdot 1)))$

Passaggio 3.11

Moltiplica $3$ per $1$ .

$- 2 (e^{3 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x) (e^{3 x} \cdot 3))$

Passaggio 3.12

Sposta $3$ alla sinistra di $e^{3 x}$ .

$- 2 (e^{3 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x) (3 e^{3 x}))$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 2 (e^{3 x} (2 \cos (2 x))) - 2 (\sin (2 x) (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x) (3 e^{3 x}))$

Passaggio 4.2

Applica la proprietà distributiva.

$- 2 (e^{3 x} (2 \cos (2 x))) - 2 (\sin (2 x) (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (- 2 \sin (2 x))) + 3 (\cos (2 x) (3 e^{3 x}))$

Passaggio 4.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$- 4 (e^{3 x} (\cos (2 x))) - 2 (\sin (2 x) (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (- 2 \sin (2 x))) + 3 (\cos (2 x) (3 e^{3 x}))$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$- 4 e^{3 x} \cos (2 x) - 6 (\sin (2 x) (e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (- 2 \sin (2 x))) + 3 (\cos (2 x) (3 e^{3 x}))$

Passaggio 4.3.3

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$- 4 e^{3 x} \cos (2 x) - 6 \sin (2 x) e^{3 x} - 6 (e^{3 x} (\sin (2 x))) + 3 (\cos (2 x) (3 e^{3 x}))$

Passaggio 4.3.4

Moltiplica $3$ per $3$ .

$- 4 e^{3 x} \cos (2 x) - 6 \sin (2 x) e^{3 x} - 6 e^{3 x} \sin (2 x) + 9 (\cos (2 x) (e^{3 x}))$

Passaggio 4.3.5

Sottrai $6 e^{3 x} \sin (2 x)$ da $- 6 \sin (2 x) e^{3 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.1

Sposta $\sin (2 x)$ .

$- 4 e^{3 x} \cos (2 x) - 6 e^{3 x} \sin (2 x) - 6 e^{3 x} \sin (2 x) + 9 \cos (2 x) e^{3 x}$

Passaggio 4.3.5.2

Sottrai $6 e^{3 x} \sin (2 x)$ da $- 6 e^{3 x} \sin (2 x)$ .

$- 4 e^{3 x} \cos (2 x) - 12 e^{3 x} \sin (2 x) + 9 \cos (2 x) e^{3 x}$

Passaggio 4.3.6

Somma $- 4 e^{3 x} \cos (2 x)$ e $9 \cos (2 x) e^{3 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.6.1

Sposta $\cos (2 x)$ .

$- 4 e^{3 x} \cos (2 x) + 9 e^{3 x} \cos (2 x) - 12 e^{3 x} \sin (2 x)$

Passaggio 4.3.6.2

Somma $- 4 e^{3 x} \cos (2 x)$ e $9 e^{3 x} \cos (2 x)$ .

$5 e^{3 x} \cos (2 x) - 12 e^{3 x} \sin (2 x)$