Calcolo Esempi

$\int \frac{4 x^{4} + 3}{4 x^{5} + 15 x + 2} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 4 x^{5} + 15 x + 2$ . Allora $d u = (20 x^{4} + 15) d x$ , quindi $\frac{1}{5} d u = (4 x^{4} + 3) d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 4 x^{5} + 15 x + 2$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $4 x^{5} + 15 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{5} + 15 x + 2]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{5} + 15 x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [15 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [15 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{5}]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{5}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [15 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$4 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [15 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $5$ per $4$ .

$20 x^{4} + \frac{d}{d x} [15 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [15 x]$ .

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Passaggio 1.1.4.1

Poiché $15$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $15 x$ rispetto a $x$ è $15 \frac{d}{d x} [x]$ .

$20 x^{4} + 15 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$20 x^{4} + 15 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.4.3

Moltiplica $15$ per $1$ .

$20 x^{4} + 15 + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.5

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.1.5.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$20 x^{4} + 15 + 0$

Passaggio 1.1.5.2

Somma $20 x^{4} + 15$ e $0$ .

$20 x^{4} + 15$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{5} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{5}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 5} d u$

Passaggio 2.2

Sposta $5$ alla sinistra di $u$ .

$\int \frac{1}{5 u} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{5}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{5}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{5} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 4

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{5} (\ln (| u |) + C)$

Passaggio 5

Semplifica.

$\frac{1}{5} \ln (| u |) + C$

Passaggio 6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 x^{5} + 15 x + 2$ .

$\frac{1}{5} \ln (| 4 x^{5} + 15 x + 2 |) + C$