Calcolo Esempi

${(e^{x} + e^{- x})}^{2}$

Passaggio 1

Scrivi ${(e^{x} + e^{- x})}^{2}$ come funzione.

$f (x) = {(e^{x} + e^{- x})}^{2}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int {(e^{x} + e^{- x})}^{2} d x$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riscrivi ${(e^{x} + e^{- x})}^{2}$ come $(e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + e^{- x})$ .

$\int (e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + e^{- x}) d x$

Passaggio 4.2

Espandi $(e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + e^{- x})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int e^{x} (e^{x} + e^{- x}) + e^{- x} (e^{x} + e^{- x}) d x$

Passaggio 4.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\int e^{x} e^{x} + e^{x} e^{- x} + e^{- x} (e^{x} + e^{- x}) d x$

Passaggio 4.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\int e^{x} e^{x} + e^{x} e^{- x} + e^{- x} e^{x} + e^{- x} e^{- x} d x$

Passaggio 4.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1

Moltiplica $e^{x}$ per $e^{x}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int e^{x + x} + e^{x} e^{- x} + e^{- x} e^{x} + e^{- x} e^{- x} d x$

Passaggio 4.3.1.1.2

Somma $x$ e $x$ .

$\int e^{2 x} + e^{x} e^{- x} + e^{- x} e^{x} + e^{- x} e^{- x} d x$

Passaggio 4.3.1.2

Moltiplica $e^{x}$ per $e^{- x}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.2.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int e^{2 x} + e^{x - x} + e^{- x} e^{x} + e^{- x} e^{- x} d x$

Passaggio 4.3.1.2.2

Sottrai $x$ da $x$ .

$\int e^{2 x} + e^{0} + e^{- x} e^{x} + e^{- x} e^{- x} d x$

Passaggio 4.3.1.3

Semplifica $e^{0}$ .

$\int e^{2 x} + 1 + e^{- x} e^{x} + e^{- x} e^{- x} d x$

Passaggio 4.3.1.4

Moltiplica $e^{- x}$ per $e^{x}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.4.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int e^{2 x} + 1 + e^{- x + x} + e^{- x} e^{- x} d x$

Passaggio 4.3.1.4.2

Somma $- x$ e $x$ .

$\int e^{2 x} + 1 + e^{0} + e^{- x} e^{- x} d x$

Passaggio 4.3.1.5

Semplifica $e^{0}$ .

$\int e^{2 x} + 1 + 1 + e^{- x} e^{- x} d x$

Passaggio 4.3.1.6

Moltiplica $e^{- x}$ per $e^{- x}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.6.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int e^{2 x} + 1 + 1 + e^{- x - x} d x$

Passaggio 4.3.1.6.2

Sottrai $x$ da $- x$ .

$\int e^{2 x} + 1 + 1 + e^{- 2 x} d x$

Passaggio 4.3.2

Somma $1$ e $1$ .

$\int e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} d x$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int e^{2 x} d x + \int 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

Passaggio 6

Sia $u_{1} = 2 x$ . Allora $d u_{1} = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sia $u_{1} = 2 x$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 6.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 6.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 6.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 6.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1} + \int 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

Passaggio 7

$e^{u_{1}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

Passaggio 8

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

Passaggio 9

L'integrale di $e^{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $e^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + \int 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

Passaggio 10

Applica la regola costante.

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + 2 x + C + \int e^{- 2 x} d x$

Passaggio 11

Sia $u_{2} = - 2 x$ . Allora $d u_{2} = - 2 d x$ , quindi $- \frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sia $u_{2} = - 2 x$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1

Differenzia $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 11.1.2

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 11.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Passaggio 11.1.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 2$

Passaggio 11.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + 2 x + C + \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Passaggio 12

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + 2 x + C + \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Passaggio 12.2

$e^{u_{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + 2 x + C + \int - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Passaggio 13

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + 2 x + C - \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Passaggio 14

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + 2 x + C - (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Passaggio 15

L'integrale di $e^{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + 2 x + C - \frac{1}{2} (e^{u_{2}} + C)$

Passaggio 16

Semplifica.

$\frac{1}{2} e^{u_{1}} + 2 x - \frac{1}{2} e^{u_{2}} + C$

Passaggio 17

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x$ .

$\frac{1}{2} e^{2 x} + 2 x - \frac{1}{2} e^{u_{2}} + C$

Passaggio 17.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $- 2 x$ .

$\frac{1}{2} e^{2 x} + 2 x - \frac{1}{2} e^{- 2 x} + C$

Passaggio 18

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = {(e^{x} + e^{- x})}^{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} + 2 x - \frac{1}{2} e^{- 2 x} + C$