Calcolo Esempi

$\frac{2 \sqrt{x}}{x}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{2 \sqrt{x}}{x}$ come funzione.

$f (x) = \frac{2 \sqrt{x}}{x}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{2 \sqrt{x}}{x} d x$

Passaggio 4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Passaggio 5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} d x$

Passaggio 5.2

Semplifica.

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Passaggio 5.2.1

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$2 \int \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.2.2.1

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 5.2.2.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 \int \frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 5.2.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 \int \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 5.2.2.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$2 \int \frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 5.2.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 \int \frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} d x$

Passaggio 5.2.2.4

Sottrai $1$ da $2$ .

$2 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 5.3

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 5.3.1

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$2 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Passaggio 5.3.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 5.3.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Passaggio 5.3.2.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$2 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Passaggio 5.3.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Passaggio 7

Semplifica la risposta.

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Passaggio 7.1

Riscrivi $2 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$ come $2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$ .

$2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 7.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 x^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 8

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{2 \sqrt{x}}{x}$ .

$F (x) =$ $4 x^{\frac{1}{2}} + C$