Calcolo Esempi

$\frac{4 x + 11}{x^{2} + 5 x + 6}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{4 x + 11}{x^{2} + 5 x + 6}$ come funzione.

$f (x) = \frac{4 x + 11}{x^{2} + 5 x + 6}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{4 x + 11}{x^{2} + 5 x + 6} d x$

Passaggio 4

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

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Passaggio 4.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Scomponi $x^{2} + 5 x + 6$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $6$ e la cui somma è $5$ .

$2, 3$

Passaggio 4.1.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$\frac{4 x + 11}{(x + 2) (x + 3)}$

Passaggio 4.1.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{x + 2}$

Passaggio 4.1.3

$\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x + 3}$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $(x + 2) (x + 3)$ .

$\frac{(4 x + 11) (x + 2) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)} = \frac{(A) (x + 2) (x + 3)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x + 3)}{x + 3}$

Passaggio 4.1.5

Elimina il fattore comune di $x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(4 x + 11) (x + 2) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)} = \frac{(A) (x + 2) (x + 3)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x + 3)}{x + 3}$

Passaggio 4.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(4 x + 11) (x + 3)}{x + 3} = \frac{(A) (x + 2) (x + 3)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x + 3)}{x + 3}$

Passaggio 4.1.6

Elimina il fattore comune di $x + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(4 x + 11) (x + 3)}{x + 3} = \frac{(A) (x + 2) (x + 3)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x + 3)}{x + 3}$

Passaggio 4.1.6.2

Dividi $4 x + 11$ per $1$ .

$4 x + 11 = \frac{(A) (x + 2) (x + 3)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x + 3)}{x + 3}$

Passaggio 4.1.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.7.1

Elimina il fattore comune di $x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.7.1.1

Elimina il fattore comune.

$4 x + 11 = \frac{A (x + 2) (x + 3)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x + 3)}{x + 3}$

Passaggio 4.1.7.1.2

Dividi $(A) (x + 3)$ per $1$ .

$4 x + 11 = (A) (x + 3) + \frac{(B) (x + 2) (x + 3)}{x + 3}$

Passaggio 4.1.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 x + 11 = A x + A \cdot 3 + \frac{(B) (x + 2) (x + 3)}{x + 3}$

Passaggio 4.1.7.3

Sposta $3$ alla sinistra di $A$ .

$4 x + 11 = A x + 3 \cdot A + \frac{(B) (x + 2) (x + 3)}{x + 3}$

Passaggio 4.1.7.4

Elimina il fattore comune di $x + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$4 x + 11 = A x + 3 A + \frac{(B) (x + 2) (x + 3)}{x + 3}$

Passaggio 4.1.7.4.2

Dividi $(B) (x + 2)$ per $1$ .

$4 x + 11 = A x + 3 A + (B) (x + 2)$

Passaggio 4.1.7.5

Applica la proprietà distributiva.

$4 x + 11 = A x + 3 A + B x + B \cdot 2$

Passaggio 4.1.7.6

Sposta $2$ alla sinistra di $B$ .

$4 x + 11 = A x + 3 A + B x + 2 B$

Passaggio 4.1.8

Sposta $3 A$ .

$4 x + 11 = A x + B x + 3 A + 2 B$

Passaggio 4.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$4 = A + B$

Passaggio 4.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$11 = 3 A + 2 B$

Passaggio 4.2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$4 = A + B$

$11 = 3 A + 2 B$

$4 = A + B$

$11 = 3 A + 2 B$

Passaggio 4.3

Risolvi il sistema di equazioni.

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Passaggio 4.3.1

Risolvi per $A$ in $4 = A + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1

Riscrivi l'equazione come $A + B = 4$ .

$A + B = 4$

$11 = 3 A + 2 B$

Passaggio 4.3.1.2

Sottrai $B$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = 4 - B$

$11 = 3 A + 2 B$

$A = 4 - B$

$11 = 3 A + 2 B$

Passaggio 4.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $4 - B$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $11 = 3 A + 2 B$ con $4 - B$ .

$11 = 3 (4 - B) + 2 B$

$A = 4 - B$

Passaggio 4.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Semplifica $3 (4 - B) + 2 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$11 = 3 \cdot 4 + 3 (- B) + 2 B$

$A = 4 - B$

Passaggio 4.3.2.2.1.1.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$11 = 12 + 3 (- B) + 2 B$

$A = 4 - B$

Passaggio 4.3.2.2.1.1.3

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$11 = 12 - 3 B + 2 B$

$A = 4 - B$

$11 = 12 - 3 B + 2 B$

$A = 4 - B$

Passaggio 4.3.2.2.1.2

Somma $- 3 B$ e $2 B$ .

$11 = 12 - B$

$A = 4 - B$

$11 = 12 - B$

$A = 4 - B$

$11 = 12 - B$

$A = 4 - B$

$11 = 12 - B$

$A = 4 - B$

Passaggio 4.3.3

Risolvi per $B$ in $11 = 12 - B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $12 - B = 11$ .

$12 - B = 11$

$A = 4 - B$

Passaggio 4.3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $B$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.2.1

Sottrai $12$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- B = 11 - 12$

$A = 4 - B$

Passaggio 4.3.3.2.2

Sottrai $12$ da $11$ .

$- B = - 1$

$A = 4 - B$

$- B = - 1$

$A = 4 - B$

Passaggio 4.3.3.3

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- B = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.3.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- B = - 1$ .

$\frac{- B}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

$A = 4 - B$

Passaggio 4.3.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.3.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{B}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

$A = 4 - B$

Passaggio 4.3.3.3.2.2

Dividi $B$ per $1$ .

$B = \frac{- 1}{- 1}$

$A = 4 - B$

$B = \frac{- 1}{- 1}$

$A = 4 - B$

Passaggio 4.3.3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.3.3.1

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$B = 1$

$A = 4 - B$

$B = 1$

$A = 4 - B$

$B = 1$

$A = 4 - B$

$B = 1$

$A = 4 - B$

Passaggio 4.3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $1$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $A = 4 - B$ con $1$ .

$A = 4 - (1)$

$B = 1$

Passaggio 4.3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.2.1

Semplifica $4 - (1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$A = 4 - 1$

$B = 1$

Passaggio 4.3.4.2.1.2

Sottrai $1$ da $4$ .

$A = 3$

$B = 1$

$A = 3$

$B = 1$

$A = 3$

$B = 1$

$A = 3$

$B = 1$

Passaggio 4.3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$A = 3, B = 1$

Passaggio 4.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x + 3}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$\frac{3}{x + 2} + \frac{1}{x + 3}$

Passaggio 4.5

Rimuovi lo zero dall'espressione.

$\int \frac{3}{x + 2} + \frac{1}{x + 3} d x$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{3}{x + 2} d x + \int \frac{1}{x + 3} d x$

Passaggio 6

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$3 \int \frac{1}{x + 2} d x + \int \frac{1}{x + 3} d x$

Passaggio 7

Sia $u_{1} = x + 2$ . Allora $d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sia $u_{1} = x + 2$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Differenzia $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Passaggio 7.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 7.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 7.1.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 7.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 7.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$3 \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{x + 3} d x$

Passaggio 8

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$3 (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{x + 3} d x$

Passaggio 9

Sia $u_{2} = x + 3$ . Allora $d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sia $u_{2} = x + 3$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Differenzia $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

Passaggio 9.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 9.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 9.1.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 9.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 9.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$3 (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 10

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$3 (\ln (| u_{1} |) + C) + \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 11

Semplifica.

$3 \ln (| u_{1} |) + \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 12

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x + 2$ .

$3 \ln (| x + 2 |) + \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 12.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x + 3$ .

$3 \ln (| x + 2 |) + \ln (| x + 3 |) + C$

Passaggio 13

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{4 x + 11}{x^{2} + 5 x + 6}$ .

$F (x) =$ $3 \ln (| x + 2 |) + \ln (| x + 3 |) + C$