Calcolo Esempi

$y = \frac{{(w^{3} + 4)}^{5}}{8}$

Passaggio 1

Poiché $\frac{1}{8}$ è costante rispetto a $w$ , la derivata di $\frac{{(w^{3} + 4)}^{5}}{8}$ rispetto a $w$ è $\frac{1}{8} \frac{d}{d w} [{(w^{3} + 4)}^{5}]$ .

$\frac{1}{8} \frac{d}{d w} [{(w^{3} + 4)}^{5}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ è $f' (g (w)) g' (w)$ dove $f (w) = w^{5}$ e $g (w) = w^{3} + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $w^{3} + 4$ .

$\frac{1}{8} (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d w} [w^{3} + 4])$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$\frac{1}{8} (5 u^{4} \frac{d}{d w} [w^{3} + 4])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $w^{3} + 4$ .

$\frac{1}{8} (5 {(w^{3} + 4)}^{4} \frac{d}{d w} [w^{3} + 4])$

Passaggio 3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

$5$ e $\frac{1}{8}$ .

$\frac{5}{8} ({(w^{3} + 4)}^{4} \frac{d}{d w} [w^{3} + 4])$

Passaggio 3.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

${(w^{3} + 4)}^{4}$ e $\frac{5}{8}$ .

$\frac{{(w^{3} + 4)}^{4} \cdot 5}{8} \frac{d}{d w} [w^{3} + 4]$

Passaggio 3.2.2

Sposta $5$ alla sinistra di ${(w^{3} + 4)}^{4}$ .

$\frac{5 \cdot {(w^{3} + 4)}^{4}}{8} \frac{d}{d w} [w^{3} + 4]$

Passaggio 3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $w^{3} + 4$ rispetto a $w$ è $\frac{d}{d w} [w^{3}] + \frac{d}{d w} [4]$ .

$\frac{5 {(w^{3} + 4)}^{4}}{8} (\frac{d}{d w} [w^{3}] + \frac{d}{d w} [4])$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ è $n w^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{5 {(w^{3} + 4)}^{4}}{8} (3 w^{2} + \frac{d}{d w} [4])$

Passaggio 3.5

Poiché $4$ è costante rispetto a $w$ , la derivata di $4$ rispetto a $w$ è $0$ .

$\frac{5 {(w^{3} + 4)}^{4}}{8} (3 w^{2} + 0)$

Passaggio 3.6

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Somma $3 w^{2}$ e $0$ .

$\frac{5 {(w^{3} + 4)}^{4}}{8} (3 w^{2})$

Passaggio 3.6.2

$3$ e $\frac{5 {(w^{3} + 4)}^{4}}{8}$ .

$\frac{3 (5 {(w^{3} + 4)}^{4})}{8} w^{2}$

Passaggio 3.6.3

Moltiplica $5$ per $3$ .

$\frac{15 {(w^{3} + 4)}^{4}}{8} w^{2}$

Passaggio 3.6.4

$\frac{15 {(w^{3} + 4)}^{4}}{8}$ e $w^{2}$ .

$\frac{15 {(w^{3} + 4)}^{4} w^{2}}{8}$

Passaggio 4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.1

Usa il teorema binomiale.

$\frac{15 ({(w^{3})}^{4} + 4 {(w^{3})}^{3} \cdot 4 + 6 {(w^{3})}^{2} \cdot 4^{2} + 4 w^{3} \cdot 4^{3} + 4^{4}) w^{2}}{8}$

Passaggio 4.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(w^{3})}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{15 (w^{3 \cdot 4} + 4 {(w^{3})}^{3} \cdot 4 + 6 {(w^{3})}^{2} \cdot 4^{2} + 4 w^{3} \cdot 4^{3} + 4^{4}) w^{2}}{8}$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$\frac{15 (w^{12} + 4 {(w^{3})}^{3} \cdot 4 + 6 {(w^{3})}^{2} \cdot 4^{2} + 4 w^{3} \cdot 4^{3} + 4^{4}) w^{2}}{8}$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(w^{3})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{15 (w^{12} + 4 w^{3 \cdot 3} \cdot 4 + 6 {(w^{3})}^{2} \cdot 4^{2} + 4 w^{3} \cdot 4^{3} + 4^{4}) w^{2}}{8}$

Passaggio 4.2.2.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{15 (w^{12} + 4 w^{9} \cdot 4 + 6 {(w^{3})}^{2} \cdot 4^{2} + 4 w^{3} \cdot 4^{3} + 4^{4}) w^{2}}{8}$

Passaggio 4.2.3

Moltiplica $4$ per $4$ .

$\frac{15 (w^{12} + 16 w^{9} + 6 {(w^{3})}^{2} \cdot 4^{2} + 4 w^{3} \cdot 4^{3} + 4^{4}) w^{2}}{8}$

Passaggio 4.2.4

Moltiplica gli esponenti in ${(w^{3})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{15 (w^{12} + 16 w^{9} + 6 w^{3 \cdot 2} \cdot 4^{2} + 4 w^{3} \cdot 4^{3} + 4^{4}) w^{2}}{8}$

Passaggio 4.2.4.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{15 (w^{12} + 16 w^{9} + 6 w^{6} \cdot 4^{2} + 4 w^{3} \cdot 4^{3} + 4^{4}) w^{2}}{8}$

Passaggio 4.2.5

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\frac{15 (w^{12} + 16 w^{9} + 6 w^{6} \cdot 16 + 4 w^{3} \cdot 4^{3} + 4^{4}) w^{2}}{8}$

Passaggio 4.2.6

Moltiplica $16$ per $6$ .

$\frac{15 (w^{12} + 16 w^{9} + 96 w^{6} + 4 w^{3} \cdot 4^{3} + 4^{4}) w^{2}}{8}$

Passaggio 4.2.7

Moltiplica $4$ per $4^{3}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.2.7.1

Sposta $4^{3}$ .

$\frac{15 (w^{12} + 16 w^{9} + 96 w^{6} + 4^{3} \cdot 4 w^{3} + 4^{4}) w^{2}}{8}$

Passaggio 4.2.7.2

Moltiplica $4^{3}$ per $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.7.2.1

Eleva $4$ alla potenza di $1$ .

$\frac{15 (w^{12} + 16 w^{9} + 96 w^{6} + 4^{3} \cdot 4^{1} w^{3} + 4^{4}) w^{2}}{8}$

Passaggio 4.2.7.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{15 (w^{12} + 16 w^{9} + 96 w^{6} + 4^{3 + 1} w^{3} + 4^{4}) w^{2}}{8}$

Passaggio 4.2.7.3

Somma $3$ e $1$ .

$\frac{15 (w^{12} + 16 w^{9} + 96 w^{6} + 4^{4} w^{3} + 4^{4}) w^{2}}{8}$

Passaggio 4.2.8

Eleva $4$ alla potenza di $4$ .

$\frac{15 (w^{12} + 16 w^{9} + 96 w^{6} + 256 w^{3} + 4^{4}) w^{2}}{8}$

Passaggio 4.2.9

Eleva $4$ alla potenza di $4$ .

$\frac{15 (w^{12} + 16 w^{9} + 96 w^{6} + 256 w^{3} + 256) w^{2}}{8}$

Passaggio 4.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(15 w^{12} + 15 (16 w^{9}) + 15 (96 w^{6}) + 15 (256 w^{3}) + 15 \cdot 256) w^{2}}{8}$

Passaggio 4.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Moltiplica $16$ per $15$ .

$\frac{(15 w^{12} + 240 w^{9} + 15 (96 w^{6}) + 15 (256 w^{3}) + 15 \cdot 256) w^{2}}{8}$

Passaggio 4.4.2

Moltiplica $96$ per $15$ .

$\frac{(15 w^{12} + 240 w^{9} + 1440 w^{6} + 15 (256 w^{3}) + 15 \cdot 256) w^{2}}{8}$

Passaggio 4.4.3

Moltiplica $256$ per $15$ .

$\frac{(15 w^{12} + 240 w^{9} + 1440 w^{6} + 3840 w^{3} + 15 \cdot 256) w^{2}}{8}$

Passaggio 4.4.4

Moltiplica $15$ per $256$ .

$\frac{(15 w^{12} + 240 w^{9} + 1440 w^{6} + 3840 w^{3} + 3840) w^{2}}{8}$

Passaggio 4.5

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{15 w^{12} w^{2} + 240 w^{9} w^{2} + 1440 w^{6} w^{2} + 3840 w^{3} w^{2} + 3840 w^{2}}{8}$

Passaggio 4.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1

Moltiplica $w^{12}$ per $w^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1.1

Sposta $w^{2}$ .

$\frac{15 (w^{2} w^{12}) + 240 w^{9} w^{2} + 1440 w^{6} w^{2} + 3840 w^{3} w^{2} + 3840 w^{2}}{8}$

Passaggio 4.6.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{15 w^{2 + 12} + 240 w^{9} w^{2} + 1440 w^{6} w^{2} + 3840 w^{3} w^{2} + 3840 w^{2}}{8}$

Passaggio 4.6.1.3

Somma $2$ e $12$ .

$\frac{15 w^{14} + 240 w^{9} w^{2} + 1440 w^{6} w^{2} + 3840 w^{3} w^{2} + 3840 w^{2}}{8}$

Passaggio 4.6.2

Moltiplica $w^{9}$ per $w^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.2.1

Sposta $w^{2}$ .

$\frac{15 w^{14} + 240 (w^{2} w^{9}) + 1440 w^{6} w^{2} + 3840 w^{3} w^{2} + 3840 w^{2}}{8}$

Passaggio 4.6.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{15 w^{14} + 240 w^{2 + 9} + 1440 w^{6} w^{2} + 3840 w^{3} w^{2} + 3840 w^{2}}{8}$

Passaggio 4.6.2.3

Somma $2$ e $9$ .

$\frac{15 w^{14} + 240 w^{11} + 1440 w^{6} w^{2} + 3840 w^{3} w^{2} + 3840 w^{2}}{8}$

Passaggio 4.6.3

Moltiplica $w^{6}$ per $w^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.3.1

Sposta $w^{2}$ .

$\frac{15 w^{14} + 240 w^{11} + 1440 (w^{2} w^{6}) + 3840 w^{3} w^{2} + 3840 w^{2}}{8}$

Passaggio 4.6.3.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{15 w^{14} + 240 w^{11} + 1440 w^{2 + 6} + 3840 w^{3} w^{2} + 3840 w^{2}}{8}$

Passaggio 4.6.3.3

Somma $2$ e $6$ .

$\frac{15 w^{14} + 240 w^{11} + 1440 w^{8} + 3840 w^{3} w^{2} + 3840 w^{2}}{8}$

Passaggio 4.6.4

Moltiplica $w^{3}$ per $w^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.4.1

Sposta $w^{2}$ .

$\frac{15 w^{14} + 240 w^{11} + 1440 w^{8} + 3840 (w^{2} w^{3}) + 3840 w^{2}}{8}$

Passaggio 4.6.4.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{15 w^{14} + 240 w^{11} + 1440 w^{8} + 3840 w^{2 + 3} + 3840 w^{2}}{8}$

Passaggio 4.6.4.3

Somma $2$ e $3$ .

$\frac{15 w^{14} + 240 w^{11} + 1440 w^{8} + 3840 w^{5} + 3840 w^{2}}{8}$