Calcolo Esempi

$g (x) = - x^{4} + 3 x$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x^{4} + 3 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{4}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 4 x^{3} + 3 \cdot 1$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$- 4 x^{3} + 3$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 4 x^{3} + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$g'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (3)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$g'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (3)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$g'' (x) = - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$g'' (x) = - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (3)$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$g'' (x) = - 12 x^{2} + 0$

Passaggio 2.3.2

Somma $- 12 x^{2}$ e $0$ .

$g'' (x) = - 12 x^{2}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 4 x^{3} + 3 = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x^{4} + 3 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{4}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 4 x^{3} + 3 \cdot 1$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 3$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $g (x)$ rispetto a $x$ è $- 4 x^{3} + 3$ .

$- 4 x^{3} + 3$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 4 x^{3} + 3 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 4 x^{3} + 3 = 0$

Passaggio 5.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 4 x^{3} = - 3$

Passaggio 5.3

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 x^{3} = - 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 x^{3} = - 3$ .

$\frac{- 4 x^{3}}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 4 x^{3}}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Dividi $x^{3}$ per $1$ .

$x^{3} = \frac{- 3}{- 4}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$x^{3} = \frac{3}{4}$

Passaggio 5.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \sqrt[3]{\frac{3}{4}}$

Passaggio 5.5

Semplifica $\sqrt[3]{\frac{3}{4}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Riscrivi $\sqrt[3]{\frac{3}{4}}$ come $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{4}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{4}}$

Passaggio 5.5.2

Moltiplica $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{4}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Passaggio 5.5.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1

Moltiplica $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{4}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Passaggio 5.5.3.2

Eleva $\sqrt[3]{4}$ alla potenza di $1$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Passaggio 5.5.3.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

Passaggio 5.5.3.4

Somma $1$ e $2$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

Passaggio 5.5.3.5

Riscrivi ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ come $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{4}$ come $4^{\frac{1}{3}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Passaggio 5.5.3.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Passaggio 5.5.3.5.3

$\frac{1}{3}$ e $3$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 5.5.3.5.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 5.5.3.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

Passaggio 5.5.3.5.5

Calcola l'esponente.

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

Passaggio 5.5.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.1

Riscrivi ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ come $\sqrt[3]{4^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

Passaggio 5.5.4.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{16}}{4}$

Passaggio 5.5.4.3

Riscrivi $16$ come $2^{3} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.3.1

Scomponi $8$ da $16$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

Passaggio 5.5.4.3.2

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

Passaggio 5.5.4.4

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{\sqrt[3]{3} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}{4}$

Passaggio 5.5.4.5

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.5.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$x = \frac{2 \sqrt[3]{3 \cdot 2}}{4}$

Passaggio 5.5.4.5.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$x = \frac{2 \sqrt[3]{6}}{4}$

Passaggio 5.5.5

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.5.1

Scomponi $2$ da $2 \sqrt[3]{6}$ .

$x = \frac{2 (\sqrt[3]{6})}{4}$

Passaggio 5.5.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.5.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$x = \frac{2 \sqrt[3]{6}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 5.5.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{2 \sqrt[3]{6}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 5.5.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{\sqrt[3]{6}}{2}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = \frac{\sqrt[3]{6}}{2}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 12 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{2}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ .

$- 12 \frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{2^{2}}$

Passaggio 9.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Riscrivi ${\sqrt[3]{6}}^{2}$ come $\sqrt[3]{6^{2}}$ .

$- 12 \frac{\sqrt[3]{6^{2}}}{2^{2}}$

Passaggio 9.2.2

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$- 12 \frac{\sqrt[3]{36}}{2^{2}}$

Passaggio 9.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$- 12 \frac{\sqrt[3]{36}}{4}$

Passaggio 9.3.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.1

Scomponi $4$ da $- 12$ .

$4 (- 3) \frac{\sqrt[3]{36}}{4}$

Passaggio 9.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$4 \cdot - 3 \frac{\sqrt[3]{36}}{4}$

Passaggio 9.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- 3 \sqrt[3]{36}$

Passaggio 10

$x = \frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ è un massimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = \frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ nell'espressione.

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} + 3 (\frac{\sqrt[3]{6}}{2})$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ .

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{{\sqrt[3]{6}}^{4}}{2^{4}} + 3 (\frac{\sqrt[3]{6}}{2})$

Passaggio 11.2.1.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.2.1

Riscrivi ${\sqrt[3]{6}}^{4}$ come $\sqrt[3]{6^{4}}$ .

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{\sqrt[3]{6^{4}}}{2^{4}} + 3 (\frac{\sqrt[3]{6}}{2})$

Passaggio 11.2.1.2.2

Eleva $6$ alla potenza di $4$ .

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{\sqrt[3]{1296}}{2^{4}} + 3 (\frac{\sqrt[3]{6}}{2})$

Passaggio 11.2.1.2.3

Riscrivi $1296$ come $6^{3} \cdot 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.2.3.1

Scomponi $216$ da $1296$ .

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{\sqrt[3]{216 (6)}}{2^{4}} + 3 (\frac{\sqrt[3]{6}}{2})$

Passaggio 11.2.1.2.3.2

Riscrivi $216$ come $6^{3}$ .

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{\sqrt[3]{6^{3} \cdot 6}}{2^{4}} + 3 (\frac{\sqrt[3]{6}}{2})$

Passaggio 11.2.1.2.4

Estrai i termini dal radicale.

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{6 \sqrt[3]{6}}{2^{4}} + 3 (\frac{\sqrt[3]{6}}{2})$

Passaggio 11.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{6 \sqrt[3]{6}}{16} + 3 (\frac{\sqrt[3]{6}}{2})$

Passaggio 11.2.1.4

Elimina il fattore comune di $6$ e $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.4.1

Scomponi $2$ da $6 \sqrt[3]{6}$ .

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{2 (3 \sqrt[3]{6})}{16} + 3 (\frac{\sqrt[3]{6}}{2})$

Passaggio 11.2.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.4.2.1

Scomponi $2$ da $16$ .

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{2 (3 \sqrt[3]{6})}{2 (8)} + 3 (\frac{\sqrt[3]{6}}{2})$

Passaggio 11.2.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{2 (3 \sqrt[3]{6})}{2 \cdot 8} + 3 (\frac{\sqrt[3]{6}}{2})$

Passaggio 11.2.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} + 3 (\frac{\sqrt[3]{6}}{2})$

Passaggio 11.2.1.5

$3$ e $\frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ .

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} + \frac{3 \sqrt[3]{6}}{2}$

Passaggio 11.2.2

Per scrivere $\frac{3 \sqrt[3]{6}}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} + \frac{3 \sqrt[3]{6}}{2} \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 11.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $8$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.1

Moltiplica $\frac{3 \sqrt[3]{6}}{2}$ per $\frac{4}{4}$ .

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} + \frac{3 \sqrt[3]{6} \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Passaggio 11.2.3.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} + \frac{3 \sqrt[3]{6} \cdot 4}{8}$

Passaggio 11.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt[3]{6} + 3 \sqrt[3]{6} \cdot 4}{8}$

Passaggio 11.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.5.1

Moltiplica $4$ per $3$ .

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt[3]{6} + 12 \sqrt[3]{6}}{8}$

Passaggio 11.2.5.2

Somma $- 3 \sqrt[3]{6}$ e $12 \sqrt[3]{6}$ .

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{9 \sqrt[3]{6}}{8}$

Passaggio 11.2.6

La risposta finale è $\frac{9 \sqrt[3]{6}}{8}$ .

$y = \frac{9 \sqrt[3]{6}}{8}$

Passaggio 12

Questi sono gli estremi locali per $g (x) = - x^{4} + 3 x$ .

$(\frac{\sqrt[3]{6}}{2}, \frac{9 \sqrt[3]{6}}{8})$ è un massimo locale

Passaggio 13