Calcolo Esempi

$y = \sin (6 x) \cos^{2} (x)$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\sin (6 x) \cos^{2} (x))$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \sin (6 x)$ e $g (x) = \cos^{2} (x)$ .

$\sin (6 x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)] + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

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Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\cos (x)$ .

$\sin (6 x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\sin (6 x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\cos (x)$ .

$\sin (6 x) (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

Passaggio 3.3

Sposta $2$ alla sinistra di $\sin (6 x)$ .

$2 \cdot \sin (6 x) \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

Passaggio 3.4

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$2 \sin (6 x) \cos (x) (- \sin (x)) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

Passaggio 3.5

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 \sin (6 x) \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

Passaggio 3.6

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 6 x$ .

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Passaggio 3.6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $6 x$ .

$- 2 \sin (6 x) \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [6 x])$

Passaggio 3.6.2

La derivata di $\sin (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\cos (u_{2})$ .

$- 2 \sin (6 x) \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [6 x])$

Passaggio 3.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $6 x$ .

$- 2 \sin (6 x) \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) (\cos (6 x) \frac{d}{d x} [6 x])$

Passaggio 3.7

Differenzia.

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Passaggio 3.7.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \sin (6 x) \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) \cos (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.7.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 \sin (6 x) \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) \cos (6 x) (6 \cdot 1)$

Passaggio 3.7.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.7.3.1

Moltiplica $6$ per $1$ .

$- 2 \sin (6 x) \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) \cos (6 x) \cdot 6$

Passaggio 3.7.3.2

Sposta $6$ alla sinistra di $\cos^{2} (x) \cos (6 x)$ .

$- 2 \sin (6 x) \cos (x) \sin (x) + 6 \cdot (\cos^{2} (x) \cos (6 x))$

Passaggio 3.7.3.3

Riordina i termini.

$- 2 \cos (x) \sin (x) \sin (6 x) + 6 \cos^{2} (x) \cos (6 x)$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = - 2 \cos (x) \sin (x) \sin (6 x) + 6 \cos^{2} (x) \cos (6 x)$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2 \cos (x) \sin (x) \sin (6 x) + 6 \cos^{2} (x) \cos (6 x)$