Calcolo Esempi

$f (x) = 5 - 3 {(1 + x^{2})}^{- 1}$

Passaggio 1

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 2

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int 5 - 3 {(1 + x^{2})}^{- 1} d x$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int 5 - 3 \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 3.1.2

$- 3$ e $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\int 5 + \frac{- 3}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 3.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int 5 - \frac{3}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 3.2

Per scrivere $5$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\int \frac{5 (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} - \frac{3}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int \frac{5 (1 + x^{2}) - 3}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 3.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int \frac{5 \cdot 1 + 5 x^{2} - 3}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 3.4.2

Moltiplica $5$ per $1$ .

$\int \frac{5 + 5 x^{2} - 3}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 3.4.3

Sottrai $3$ da $5$ .

$\int \frac{5 x^{2} + 2}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 4

Riordina $1$ e $x^{2}$ .

$\int \frac{5 x^{2} + 2}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 5

Dividi $5 x^{2} + 2$ per $x^{2} + 1$ .

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Passaggio 5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

Passaggio 5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $5 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x^{2}$ .

							$5$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$5 x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$

Passaggio 5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

						$5$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$5 x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
					+	$5 x^{2}$	+	$0$	+	$5$

Passaggio 5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $5 x^{2} + 0 + 5$

						$5$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$5 x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
					-	$5 x^{2}$	-	$0$	-	$5$

Passaggio 5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

						$5$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$5 x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
					-	$5 x^{2}$	-	$0$	-	$5$
									-	$3$

Passaggio 5.6

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\int 5 - \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 6

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int 5 d x + \int - \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 7

Applica la regola costante.

$5 x + C + \int - \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$5 x + C - \int \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 9

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$5 x + C - (3 \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Passaggio 10

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 10.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$5 x + C - 3 \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 10.2

Riordina $x^{2}$ e $1$ .

$5 x + C - 3 \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 10.3

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$5 x + C - 3 \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Passaggio 11

L'integrale di $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\arctan (x) + C$ .

$5 x + C - 3 (\arctan (x) + C)$

Passaggio 12

Semplifica.

$5 x - 3 \arctan (x) + C$

Passaggio 13

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = 5 - 3 {(1 + x^{2})}^{- 1}$ .

$F (x) =$ $5 x - 3 \arctan (x) + C$