Calcolo Esempi

$\int_{0}^{a} 8 x \sqrt{a^{2} - x^{2}} d x$

Passaggio 1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , sposta $8$ fuori dall'integrale.

$8 \int_{0}^{a} x \sqrt{a^{2} - x^{2}} d x$

Passaggio 2

Sia $u = a^{2} - x^{2}$ . Allora $d u = - 2 x d x$ , quindi $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sia $u = a^{2} - x^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia $a^{2} - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [a^{2} - x^{2}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $a^{2} - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 2.1.2.2

Poiché $a^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $a^{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$0 - 2 x$

Passaggio 2.1.4

Sottrai $2 x$ da $0$ .

$- 2 x$

Passaggio 2.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = a^{2} - x^{2}$ .

$u_{lower} = a^{2} - 0^{2}$

Passaggio 2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$u_{lower} = a^{2} - 0$

Passaggio 2.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$u_{lower} = a^{2} + 0$

Passaggio 2.3.2

Somma $a^{2}$ e $0$ .

$u_{lower} = a^{2}$

Passaggio 2.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = a^{2} - x^{2}$ .

$u_{upper} = a^{2} - a^{2}$

Passaggio 2.5

Sottrai $a^{2}$ da $a^{2}$ .

$u_{upper} = 0$

Passaggio 2.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = a^{2}$

$u_{upper} = 0$

Passaggio 2.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$8 \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$8 \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Passaggio 3.2

$\sqrt{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$8 \int_{a^{2}}^{0} - \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Passaggio 4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$8 (- \int_{a^{2}}^{0} \frac{\sqrt{u}}{2} d u)$

Passaggio 5

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$- 8 \int_{a^{2}}^{0} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$- 8 (\frac{1}{2} \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} d u)$

Passaggio 7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

$\frac{1}{2}$ e $- 8$ .

$\frac{- 8}{2} \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} d u$

Passaggio 7.1.2

Elimina il fattore comune di $- 8$ e $2$ .

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Passaggio 7.1.2.1

Scomponi $2$ da $- 8$ .

$\frac{2 \cdot - 4}{2} \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} d u$

Passaggio 7.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 \cdot - 4}{2 (1)} \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} d u$

Passaggio 7.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1} \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} d u$

Passaggio 7.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 4}{1} \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} d u$

Passaggio 7.1.2.2.4

Dividi $- 4$ per $1$ .

$- 4 \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} d u$

Passaggio 7.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- 4 \int_{a^{2}}^{0} u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 8

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- 4 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{a^{2}}^{0})$

Passaggio 9

$\frac{2}{3}$ e $u^{\frac{3}{2}}$ .

$- 4 (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}]_{a^{2}}^{0})$

Passaggio 10

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 10.1

Calcola $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ per $0$ e per $a^{2}$ .

$- 4 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Passaggio 10.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$- 4 (\frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Passaggio 10.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 (\frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Passaggio 10.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$- 4 (\frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Passaggio 10.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$- 4 (\frac{2 \cdot 0^{3}}{3} - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Passaggio 10.2.4

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- 4 (\frac{2 \cdot 0}{3} - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Passaggio 10.2.5

Moltiplica $2$ per $0$ .

$- 4 (\frac{0}{3} - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Passaggio 10.2.6

Elimina il fattore comune di $0$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.6.1

Scomponi $3$ da $0$ .

$- 4 (\frac{3 (0)}{3} - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Passaggio 10.2.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.6.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$- 4 (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Passaggio 10.2.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$- 4 (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Passaggio 10.2.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- 4 (\frac{0}{1} - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Passaggio 10.2.6.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$- 4 (0 - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Passaggio 10.2.7

Moltiplica gli esponenti in ${(a^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.7.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 (0 - \frac{2 a^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Passaggio 10.2.7.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.7.2.1

Elimina il fattore comune.

$- 4 (0 - \frac{2 a^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Passaggio 10.2.7.2.2

Riscrivi l'espressione.

$- 4 (0 - \frac{2 a^{3}}{3})$

Passaggio 10.2.8

Sottrai $\frac{2 a^{3}}{3}$ da $0$ .

$- 4 (- \frac{2 a^{3}}{3})$

Passaggio 10.2.9

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$4 \frac{2 a^{3}}{3}$

Passaggio 10.2.10

$4$ e $\frac{2 a^{3}}{3}$ .

$\frac{4 (2 a^{3})}{3}$

Passaggio 10.2.11

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{8 a^{3}}{3}$

Passaggio 11

Riordina i termini.

$\frac{8}{3} a^{3}$

Passaggio 12

$\frac{8}{3}$ e $a^{3}$ .

$\frac{8 a^{3}}{3}$