Calcolo Esempi

$\int \frac{e^{\frac{2}{x}}}{3 x^{2}} d x$

Passaggio 1

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} \int \frac{e^{\frac{2}{x}}}{x^{2}} d x$

Passaggio 2

Sia $u = \frac{2}{x}$ . Allora $d u = - \frac{2}{x^{2}} d x$ , quindi $1 d u = - \frac{2}{x^{2}} d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = \frac{2}{x}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Passaggio 2.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2}{x}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 2.1.3

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Passaggio 2.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$2 (- x^{- 2})$

Passaggio 2.1.5

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 x^{- 2}$

Passaggio 2.1.6

Semplifica.

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Passaggio 2.1.6.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 2.1.6.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 2.1.6.2.1

$- 2$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 2}{x^{2}}$

Passaggio 2.1.6.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{x^{2}}$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{3} \int - \frac{1}{2} e^{u} d u$

Passaggio 3

Poiché $- \frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- \frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} (- \frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{3 \cdot 2} \int e^{u} d u$

Passaggio 4.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$- \frac{1}{6} \int e^{u} d u$

Passaggio 5

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$- \frac{1}{6} (e^{u} + C)$

Passaggio 6

Semplifica.

$- \frac{1}{6} e^{u} + C$

Passaggio 7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{2}{x}$ .

$- \frac{1}{6} e^{\frac{2}{x}} + C$