Calcolo Esempi

$1 + \tan^{2} (\frac{x}{2})$

Passaggio 1

Scrivi $1 + \tan^{2} (\frac{x}{2})$ come funzione.

$f (x) = 1 + \tan^{2} (\frac{x}{2})$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int 1 + \tan^{2} (\frac{x}{2}) d x$

Passaggio 4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int d x + \int \tan^{2} (\frac{x}{2}) d x$

Passaggio 5

Applica la regola costante.

$x + C + \int \tan^{2} (\frac{x}{2}) d x$

Passaggio 6

Sia $u = \frac{x}{2}$ . Allora $d u = \frac{1}{2} d x$ , quindi $2 d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sia $u = \frac{x}{2}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Differenzia $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Passaggio 6.1.2

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 6.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Passaggio 6.1.4

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{2}$

Passaggio 6.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$x + C + \int \tan^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{2}$ .

$x + C + \int \tan^{2} (u) (1 \cdot 2) d u$

Passaggio 7.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x + C + \int \tan^{2} (u) \cdot 2 d u$

Passaggio 7.3

Sposta $2$ alla sinistra di $\tan^{2} (u)$ .

$x + C + \int 2 \tan^{2} (u) d u$

Passaggio 8

Poiché $2$ è costante rispetto a $u$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$x + C + 2 \int \tan^{2} (u) d u$

Passaggio 9

Usando l'identità pitagorica, riscrivi $\tan^{2} (u)$ come $- 1 + \sec^{2} (u)$ .

$x + C + 2 \int - 1 + \sec^{2} (u) d u$

Passaggio 10

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$x + C + 2 (\int - 1 d u + \int \sec^{2} (u) d u)$

Passaggio 11

Applica la regola costante.

$x + C + 2 (- u + C + \int \sec^{2} (u) d u)$

Passaggio 12

Poiché la derivata di $\tan (u)$ è $\sec^{2} (u)$ , l'integrale di $\sec^{2} (u)$ è $\tan (u)$ .

$x + C + 2 (- u + C + \tan (u) + C)$

Passaggio 13

Semplifica.

$x - 2 u + 2 \tan (u) + C$

Passaggio 14

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x}{2}$ .

$x - 2 \frac{x}{2} + 2 \tan (\frac{x}{2}) + C$

Passaggio 15

Riordina i termini.

$x - 2 (\frac{1}{2}) x + 2 \tan (\frac{1}{2} x) + C$

Passaggio 16

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = 1 + \tan^{2} (\frac{x}{2})$ .

$F (x) =$ $x - 2 (\frac{1}{2}) x + 2 \tan (\frac{1}{2} x) + C$