Calcolo Esempi

$\frac{\ln (\sqrt{x})}{x}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{x}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = \ln (x^{\frac{1}{2}})$ e $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{1}{2}})] - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 3.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{\frac{x}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 5

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 6

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 6.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{1 - \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 6.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 6.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x^{\frac{2 - 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 6.4

Sottrai $1$ da $2$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 8

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 9

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 11

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 11.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 13

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 14

$x^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2} - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 15

Moltiplica $x^{\frac{1}{2}}$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 15.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{x^{\frac{1 - 1}{2}}}{2} - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 15.3

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{0}{2}}}{2} - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 15.4

Dividi $0$ per $2$ .

$\frac{\frac{x^{0}}{2} - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 16

Semplifica $x^{0}$ .

$\frac{\frac{1}{2} - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 17

Moltiplica $\frac{\frac{1}{2} - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 18

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1

Combina.

$\frac{2 (\frac{1}{2} - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])}{2 x^{2}}$

Passaggio 18.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (\frac{1}{2}) + 2 (- \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])}{2 x^{2}}$

Passaggio 18.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (\frac{1}{2}) + 2 (- \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])}{2 x^{2}}$

Passaggio 18.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 + 2 (- \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])}{2 x^{2}}$

Passaggio 18.4

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1 - 2 (\ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])}{2 x^{2}}$

Passaggio 19

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1 - 2 \ln (x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1}{2 x^{2}}$

Passaggio 20

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.1

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{1 - 2 \ln (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{2}}$

Passaggio 20.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.2.1

Semplifica $- 2 \ln (x^{\frac{1}{2}})$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\frac{1 - \ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2})}{2 x^{2}}$

Passaggio 20.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1 - \ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{2 x^{2}}$

Passaggio 20.2.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 - \ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{2 x^{2}}$

Passaggio 20.2.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 - \ln (x^{1})}{2 x^{2}}$

Passaggio 20.2.3

Semplifica.

$\frac{1 - \ln (x)}{2 x^{2}}$