Calcolo Esempi

$y = \frac{1}{2} x^{2} - x^{4} + x - \frac{1}{4} x^{5}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{2} x^{2} - x^{4} + x - \frac{1}{4} x^{5}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}]$ .

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Passaggio 1.2.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{2} x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$

Passaggio 1.2.3

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$

Passaggio 1.2.4

$\frac{2}{2}$ e $x$ .

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$

Passaggio 1.2.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 1.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$

Passaggio 1.2.5.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

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Passaggio 1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{4}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$x - \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$x - (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$x - 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x - 4 x^{3} + 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$

Passaggio 1.5

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$ .

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Passaggio 1.5.1

Poiché $- \frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{1}{4} x^{5}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$x - 4 x^{3} + 1 - \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 1.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$x - 4 x^{3} + 1 - \frac{1}{4} (5 x^{4})$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$x - 4 x^{3} + 1 - 5 (\frac{1}{4}) x^{4}$

Passaggio 1.5.4

$- 5$ e $\frac{1}{4}$ .

$x - 4 x^{3} + 1 + \frac{- 5}{4} x^{4}$

Passaggio 1.5.5

$\frac{- 5}{4}$ e $x^{4}$ .

$x - 4 x^{3} + 1 + \frac{- 5 x^{4}}{4}$

Passaggio 1.5.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x - 4 x^{3} + 1 - \frac{5 x^{4}}{4}$

Passaggio 1.6

Riordina i termini.

$f' (x) = - \frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + x + 1$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- \frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{4}]$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $- \frac{5}{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{5 x^{4}}{4}$ rispetto a $x$ è $- \frac{5}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{5}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$- \frac{5}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- 4 (\frac{5}{4}) x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.4

$- 4$ e $\frac{5}{4}$ .

$\frac{- 4 \cdot 5}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica $- 4$ per $5$ .

$\frac{- 20}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.6

$\frac{- 20}{4}$ e $x^{3}$ .

$\frac{- 20 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.7

Elimina il fattore comune di $- 20$ e $4$ .

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Passaggio 2.2.7.1

Scomponi $4$ da $- 20 x^{3}$ .

$\frac{4 (- 5 x^{3})}{4} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.7.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.2.7.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$\frac{4 (- 5 x^{3})}{4 (1)} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 (- 5 x^{3})}{4 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 5 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.7.2.4

Dividi $- 5 x^{3}$ per $1$ .

$- 5 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

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Passaggio 2.3.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 5 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- 5 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$- 5 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.4

Differenzia.

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Passaggio 2.4.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 5 x^{3} - 12 x^{2} + 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.4.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 5 x^{3} - 12 x^{2} + 1 + 0$

Passaggio 2.4.3

Somma $- 5 x^{3} - 12 x^{2} + 1$ e $0$ .

$f'' (x) = - 5 x^{3} - 12 x^{2} + 1$