Calcolo Esempi

$\int_{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}^{2} \frac{12}{x \sqrt{9 x^{2} - 9}} d x$

Passaggio 1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , sposta $12$ fuori dall'integrale.

$12 \int_{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}^{2} \frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 9}} d x$

Passaggio 2

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 2.1

Riscrivi $9 x^{2}$ come ${(3 x)}^{2}$ .

$12 \int_{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}^{2} \frac{1}{x \sqrt{{(3 x)}^{2} - 9}} d x$

Passaggio 2.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$12 \int_{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}^{2} \frac{1}{x \sqrt{{(3 x)}^{2} - 3^{2}}} d x$

Passaggio 3

L'integrale di $\frac{1}{x \sqrt{{(3 x)}^{2} - 3^{2}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} arcsec (| \frac{3 x}{3} |)$ .

$12 (\frac{1}{3} arcsec (| \frac{3 x}{3} |)]_{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}^{2})$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 4.1

Semplifica.

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Passaggio 4.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$12 (\frac{1}{3} arcsec (| \frac{3 x}{3} |)]_{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}^{2})$

Passaggio 4.1.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$12 (\frac{1}{3} arcsec (| x |)]_{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}^{2})$

Passaggio 4.1.2

$\frac{1}{3}$ e $arcsec (| x |)$ .

$12 (\frac{arcsec (| x |)}{3}]_{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}^{2})$

Passaggio 4.2

Calcola $\frac{arcsec (| x |)}{3}$ per $2$ e per $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$12 (\frac{arcsec (| 2 |)}{3} - \frac{arcsec (| \frac{2 \sqrt{3}}{3} |)}{3})$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$12 \frac{arcsec (| 2 |) - arcsec (| \frac{2 \sqrt{3}}{3} |)}{3}$

Passaggio 5.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$12 \frac{arcsec (2) - arcsec (| \frac{2 \sqrt{3}}{3} |)}{3}$

Passaggio 5.2.2

Il valore esatto di $arcsec (2)$ è $\frac{π}{3}$ .

$12 \frac{\frac{π}{3} - arcsec (| \frac{2 \sqrt{3}}{3} |)}{3}$

Passaggio 5.2.3

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ corrisponde approssimativamente a $1.15470053$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$12 \frac{\frac{π}{3} - arcsec (\frac{2 \sqrt{3}}{3})}{3}$

Passaggio 5.2.4

Il valore esatto di $arcsec (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$ è $\frac{π}{6}$ .

$12 \frac{\frac{π}{3} - \frac{π}{6}}{3}$

Passaggio 5.3

Per scrivere $\frac{π}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$12 \frac{\frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{6}}{3}$

Passaggio 5.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 5.4.1

Moltiplica $\frac{π}{3}$ per $\frac{2}{2}$ .

$12 \frac{\frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{π}{6}}{3}$

Passaggio 5.4.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$12 \frac{\frac{π \cdot 2}{6} - \frac{π}{6}}{3}$

Passaggio 5.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$12 \frac{\frac{π \cdot 2 - π}{6}}{3}$

Passaggio 5.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.6.1

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$12 \frac{\frac{2 \cdot π - π}{6}}{3}$

Passaggio 5.6.2

Sottrai $π$ da $2 π$ .

$12 \frac{\frac{π}{6}}{3}$

Passaggio 5.7

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 5.7.1

Scomponi $3$ da $12$ .

$3 (4) \frac{\frac{π}{6}}{3}$

Passaggio 5.7.2

Elimina il fattore comune.

$3 \cdot 4 \frac{\frac{π}{6}}{3}$

Passaggio 5.7.3

Riscrivi l'espressione.

$4 \frac{π}{6}$

Passaggio 5.8

$4$ e $\frac{π}{6}$ .

$\frac{4 π}{6}$

Passaggio 5.9

Elimina il fattore comune di $4$ e $6$ .

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Passaggio 5.9.1

Scomponi $2$ da $4 π$ .

$\frac{2 (2 π)}{6}$

Passaggio 5.9.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.9.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$\frac{2 (2 π)}{2 (3)}$

Passaggio 5.9.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (2 π)}{2 \cdot 3}$

Passaggio 5.9.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 π}{3}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{2 π}{3}$

Forma decimale:

$2.09439510 \dots$

Passaggio 7