Calcolo Esempi

$\int 5 {(3 - \cos^{2} (x))}^{- 6} \sin (2 x) d x$

Passaggio 1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$5 \int {(3 - \cos^{2} (x))}^{- 6} \sin (2 x) d x$

Passaggio 2

Sia $u_{2} = 3 - \cos^{2} (x)$ . Allora $d u_{2} = \sin (2 x) d x$ , quindi $\frac{1}{\sin (2 x)} d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u_{2} = 3 - \cos^{2} (x)$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $3 - \cos^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d x} [3 - \cos^{2} (x)]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia.

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Passaggio 2.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 - \cos^{2} (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

Passaggio 2.1.2.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

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Passaggio 2.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \cos^{2} (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

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Passaggio 2.1.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\cos (x)$ .

$0 - (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Passaggio 2.1.3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 - (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Passaggio 2.1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\cos (x)$ .

$0 - (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Passaggio 2.1.3.3

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$0 - (2 \cos (x) (- \sin (x)))$

Passaggio 2.1.3.4

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$0 - (- 2 \cos (x) \sin (x))$

Passaggio 2.1.3.5

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$0 + 2 \cos (x) \sin (x)$

Passaggio 2.1.4

Semplifica.

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Passaggio 2.1.4.1

Somma $0$ e $2 \cos (x) \sin (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x)$

Passaggio 2.1.4.2

Riordina $2 \cos (x)$ e $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x))$

Passaggio 2.1.4.3

Riordina $\sin (x)$ e $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x)$

Passaggio 2.1.4.4

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

$\sin (2 x)$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$5 \int {u_{2}}^{- 6} d u_{2}$

Passaggio 3

Secondo la regola della potenza, l'intero di ${u_{2}}^{- 6}$ rispetto a $u_{2}$ è $- \frac{1}{5} {u_{2}}^{- 5}$ .

$5 (- \frac{1}{5} {u_{2}}^{- 5} + C)$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Semplifica.

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Passaggio 4.1.1

${u_{2}}^{- 5}$ e $\frac{1}{5}$ .

$5 (- \frac{{u_{2}}^{- 5}}{5} + C)$

Passaggio 4.1.2

Sposta ${u_{2}}^{- 5}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (- \frac{1}{5 {u_{2}}^{5}} + C)$

Passaggio 4.2

Semplifica.

$5 (- \frac{1}{5 {u_{2}}^{5}}) + C$

Passaggio 4.3

Semplifica.

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Passaggio 4.3.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$- 5 \frac{1}{5 {u_{2}}^{5}} + C$

Passaggio 4.3.2

$- 5$ e $\frac{1}{5 {u_{2}}^{5}}$ .

$\frac{- 5}{5 {u_{2}}^{5}} + C$

Passaggio 4.3.3

Elimina il fattore comune di $- 5$ e $5$ .

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Passaggio 4.3.3.1

Scomponi $5$ da $- 5$ .

$\frac{5 \cdot - 1}{5 {u_{2}}^{5}} + C$

Passaggio 4.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 4.3.3.2.1

Scomponi $5$ da $5 {u_{2}}^{5}$ .

$\frac{5 \cdot - 1}{5 ({u_{2}}^{5})} + C$

Passaggio 4.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 \cdot - 1}{5 {u_{2}}^{5}} + C$

Passaggio 4.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{{u_{2}}^{5}} + C$

Passaggio 4.3.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{{u_{2}}^{5}} + C$

Passaggio 5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $3 - \cos^{2} (x)$ .

$- \frac{1}{{(3 - \cos^{2} (x))}^{5}} + C$