Calcolo Esempi

$\frac{2}{5 - 2 x} + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{2}{5 - 2 x} + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}}$ come funzione.

$f (x) = \frac{2}{5 - 2 x} + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{2}{5 - 2 x} + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}} d x$

Passaggio 4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{2}{5 - 2 x} d x + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Passaggio 5

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int \frac{1}{5 - 2 x} d x + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Passaggio 6

Sia $u = 5 - 2 x$ . Allora $d u = - 2 d x$ , quindi $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sia $u = 5 - 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Differenzia $5 - 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 - 2 x]$

Passaggio 6.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 - 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 6.1.2.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 6.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Passaggio 6.1.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 6.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Passaggio 6.1.3.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$0 - 2$

Passaggio 6.1.4

Sottrai $2$ da $0$ .

$- 2$

Passaggio 6.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 \int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Passaggio 7.2

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$2 \int - \frac{1}{u \cdot 2} d u + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Passaggio 7.3

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$2 \int - \frac{1}{2 u} d u + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Passaggio 8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$2 (- \int \frac{1}{2 u} d u) + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Passaggio 9

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 \int \frac{1}{2 u} d u + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Passaggio 10

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$- 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Passaggio 11

Semplifica.

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Passaggio 11.1

$\frac{1}{2}$ e $- 2$ .

$\frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Passaggio 11.2

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

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Passaggio 11.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Passaggio 11.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 11.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Passaggio 11.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Passaggio 11.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Passaggio 11.2.2.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Passaggio 12

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C) + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Passaggio 13

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$- (\ln (| u |) + C) + 2 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Passaggio 14

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$- (\ln (| u |) + C) + 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Passaggio 15

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$- (\ln (| u |) + C) + 2 (\ln (| x |) + C) + 3 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 16

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 16.1

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$- (\ln (| u |) + C) + 2 (\ln (| x |) + C) + 3 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Passaggio 16.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 16.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (\ln (| u |) + C) + 2 (\ln (| x |) + C) + 3 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Passaggio 16.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- (\ln (| u |) + C) + 2 (\ln (| x |) + C) + 3 \int x^{- 2} d x$

Passaggio 17

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$- (\ln (| u |) + C) + 2 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C)$

Passaggio 18

Semplifica.

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Passaggio 18.1

Semplifica.

$- \ln (| u |) + 2 \ln (| x |) + 3 (- \frac{1}{x}) + C$

Passaggio 18.2

Semplifica.

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Passaggio 18.2.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- \ln (| u |) + 2 \ln (| x |) - 3 \frac{1}{x} + C$

Passaggio 18.2.2

$- 3$ e $\frac{1}{x}$ .

$- \ln (| u |) + 2 \ln (| x |) + \frac{- 3}{x} + C$

Passaggio 18.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \ln (| u |) + 2 \ln (| x |) - \frac{3}{x} + C$

Passaggio 19

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $5 - 2 x$ .

$- \ln (| 5 - 2 x |) + 2 \ln (| x |) - \frac{3}{x} + C$

Passaggio 20

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{2}{5 - 2 x} + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $- \ln (| 5 - 2 x |) + 2 \ln (| x |) - \frac{3}{x} + C$