Calcolo Esempi

$e^{- 3 x} - 4 x + 50$

Passaggio 1

Scrivi $e^{- 3 x} - 4 x + 50$ come funzione.

$f (x) = e^{- 3 x} - 4 x + 50$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int e^{- 3 x} - 4 x + 50 d x$

Passaggio 4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int e^{- 3 x} d x + \int - 4 x d x + \int 50 d x$

Passaggio 5

Sia $u = - 3 x$ . Allora $d u = - 3 d x$ , quindi $- \frac{1}{3} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 5.1

Sia $u = - 3 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Differenzia $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$

Passaggio 5.1.2

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

Passaggio 5.1.4

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$- 3$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{- 3} d u + \int - 4 x d x + \int 50 d x$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int e^{u} (- \frac{1}{3}) d u + \int - 4 x d x + \int 50 d x$

Passaggio 6.2

$e^{u}$ e $\frac{1}{3}$ .

$\int - \frac{e^{u}}{3} d u + \int - 4 x d x + \int 50 d x$

Passaggio 7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{e^{u}}{3} d u + \int - 4 x d x + \int 50 d x$

Passaggio 8

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{1}{3} \int e^{u} d u) + \int - 4 x d x + \int 50 d x$

Passaggio 9

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$- \frac{1}{3} (e^{u} + C) + \int - 4 x d x + \int 50 d x$

Passaggio 10

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 4$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{3} (e^{u} + C) - 4 \int x d x + \int 50 d x$

Passaggio 11

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{1}{3} (e^{u} + C) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 50 d x$

Passaggio 12

Applica la regola costante.

$- \frac{1}{3} (e^{u} + C) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 50 x + C$

Passaggio 13

Semplifica.

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Passaggio 13.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$- \frac{1}{3} (e^{u} + C) - 4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 50 x + C$

Passaggio 13.2

Semplifica.

$- \frac{e^{u}}{3} - 2 x^{2} + 50 x + C$

Passaggio 14

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 3 x$ .

$- \frac{e^{- 3 x}}{3} - 2 x^{2} + 50 x + C$

Passaggio 15

Riordina i termini.

$- \frac{1}{3} e^{- 3 x} - 2 x^{2} + 50 x + C$

Passaggio 16

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = e^{- 3 x} - 4 x + 50$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{3} e^{- 3 x} - 2 x^{2} + 50 x + C$