Calcolo Esempi

$\frac{2}{\sqrt{x + 3}} - \sin^{2} (2 x)$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{2}{\sqrt{x + 3}} - \sin^{2} (2 x)$ come funzione.

$f (x) = \frac{2}{\sqrt{x + 3}} - \sin^{2} (2 x)$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{2}{\sqrt{x + 3}} - \sin^{2} (2 x) d x$

Passaggio 4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{2}{\sqrt{x + 3}} d x + \int - \sin^{2} (2 x) d x$

Passaggio 5

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int \frac{1}{\sqrt{x + 3}} d x + \int - \sin^{2} (2 x) d x$

Passaggio 6

Sia $u_{1} = x + 3$ . Allora $d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sia $u_{1} = x + 3$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Differenzia $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

Passaggio 6.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 6.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 6.1.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 6.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 6.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$2 \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1} + \int - \sin^{2} (2 x) d x$

Passaggio 7

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u_{1}}$ come ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \int \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1} + \int - \sin^{2} (2 x) d x$

Passaggio 7.2

Sposta ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$2 \int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{1} + \int - \sin^{2} (2 x) d x$

Passaggio 7.3

Moltiplica gli esponenti in ${({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{1} + \int - \sin^{2} (2 x) d x$

Passaggio 7.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$2 \int {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{1} + \int - \sin^{2} (2 x) d x$

Passaggio 7.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 \int {u_{1}}^{- \frac{1}{2}} d u_{1} + \int - \sin^{2} (2 x) d x$

Passaggio 8

Secondo la regola della potenza, l'intero di ${u_{1}}^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $u_{1}$ è $2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) + \int - \sin^{2} (2 x) d x$

Passaggio 9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$2 (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) - \int \sin^{2} (2 x) d x$

Passaggio 10

Sia $u_{2} = 2 x$ . Allora $d u_{2} = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 10.1

Sia $u_{2} = 2 x$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 10.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 10.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 10.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 10.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$2 (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) - \int \sin^{2} (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Passaggio 11

$\sin^{2} (u_{2})$ e $\frac{1}{2}$ .

$2 (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) - \int \frac{\sin^{2} (u_{2})}{2} d u_{2}$

Passaggio 12

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$2 (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) - (\frac{1}{2} \int \sin^{2} (u_{2}) d u_{2})$

Passaggio 13

Usa la formula di bisezione per riscrivere $\sin^{2} (u_{2})$ come $\frac{1 - \cos (2 u_{2})}{2}$ .

$2 (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) - \frac{1}{2} \int \frac{1 - \cos (2 u_{2})}{2} d u_{2}$

Passaggio 14

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$2 (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{2}) d u_{2})$

Passaggio 15

Semplifica.

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Passaggio 15.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$2 (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) - \frac{1}{2 \cdot 2} \int 1 - \cos (2 u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 15.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$2 (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) - \frac{1}{4} \int 1 - \cos (2 u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 16

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$2 (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) - \frac{1}{4} (\int d u_{2} + \int - \cos (2 u_{2}) d u_{2})$

Passaggio 17

Applica la regola costante.

$2 (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) - \frac{1}{4} (u_{2} + C + \int - \cos (2 u_{2}) d u_{2})$

Passaggio 18

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$2 (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) - \frac{1}{4} (u_{2} + C - \int \cos (2 u_{2}) d u_{2})$

Passaggio 19

Sia $u_{3} = 2 u_{2}$ . Allora $d u_{3} = 2 d u_{2}$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{3} = d u_{2}$ . Riscrivi usando $u_{3}$ e $d$ $u_{3}$ .

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Passaggio 19.1

Sia $u_{3} = 2 u_{2}$ . Trova $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

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Passaggio 19.1.1

Differenzia $2 u_{2}$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}]$

Passaggio 19.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $u_{2}$ , la derivata di $2 u_{2}$ rispetto a $u_{2}$ è $2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$

Passaggio 19.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 19.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 19.2

Riscrivi il problema usando $u_{3}$ e $d u_{3}$ .

$2 (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) - \frac{1}{4} (u_{2} + C - \int \cos (u_{3}) \frac{1}{2} d u_{3})$

Passaggio 20

$\cos (u_{3})$ e $\frac{1}{2}$ .

$2 (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) - \frac{1}{4} (u_{2} + C - \int \frac{\cos (u_{3})}{2} d u_{3})$

Passaggio 21

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{3}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$2 (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) - \frac{1}{4} (u_{2} + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{3}) d u_{3}))$

Passaggio 22

L'integrale di $\cos (u_{3})$ rispetto a $u_{3}$ è $\sin (u_{3})$ .

$2 (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) - \frac{1}{4} (u_{2} + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{3}) + C))$

Passaggio 23

Semplifica.

$4 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} (u_{2} - \frac{1}{2} \sin (u_{3})) + C$

Passaggio 24

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 24.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x + 3$ .

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} (u_{2} - \frac{1}{2} \sin (u_{3})) + C$

Passaggio 24.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 x$ .

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} (2 x - \frac{1}{2} \sin (u_{3})) + C$

Passaggio 24.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $2 u_{2}$ .

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} (2 x - \frac{1}{2} \sin (2 u_{2})) + C$

Passaggio 24.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 x$ .

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} (2 x - \frac{1}{2} \sin (2 (2 x))) + C$

Passaggio 25

Semplifica.

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Passaggio 25.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 25.1.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} (2 x - \frac{1}{2} \sin (4 x)) + C$

Passaggio 25.1.2

$\sin (4 x)$ e $\frac{1}{2}$ .

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} (2 x - \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Passaggio 25.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} (2 x) - \frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Passaggio 25.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 25.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{4}$ nel numeratore.

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 1}{4} (2 x) - \frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Passaggio 25.3.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 1}{2 (2)} (2 x) - \frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Passaggio 25.3.3

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 1}{2 (2)} (2 (x)) - \frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Passaggio 25.3.4

Elimina il fattore comune.

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 1}{2 \cdot 2} (2 x) - \frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Passaggio 25.3.5

Riscrivi l'espressione.

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 1}{2} x - \frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Passaggio 25.4

$\frac{- 1}{2}$ e $x$ .

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x}{2} - \frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Passaggio 25.5

Moltiplica $- \frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 x)}{2})$ .

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Passaggio 25.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x}{2} + 1 (\frac{1}{4}) \frac{\sin (4 x)}{2} + C$

Passaggio 25.5.2

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $1$ .

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x}{2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2} + C$

Passaggio 25.5.3

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{\sin (4 x)}{2}$ .

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{4 \cdot 2} + C$

Passaggio 25.5.4

Moltiplica $4$ per $2$ .

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{8} + C$

Passaggio 25.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{8} + C$

Passaggio 26

Riordina i termini.

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} x + \frac{1}{8} \sin (4 x) + C$

Passaggio 27

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{2}{\sqrt{x + 3}} - \sin^{2} (2 x)$ .

$F (x) =$ $4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} x + \frac{1}{8} \sin (4 x) + C$