Calcolo Esempi

$y = \sqrt[3]{x} (2 x - x^{2})$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x}$ come $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}} (2 x - x^{2})]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = 2 x - x^{2}$ .

$x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}] + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{\frac{1}{3}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{\frac{1}{3}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 3.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} (2 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 3.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{\frac{1}{3}} (2 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{\frac{1}{3}} (2 - (2 x)) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 3.7

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$x^{\frac{1}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 3.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Passaggio 4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Passaggio 5

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x^{\frac{1}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$x^{\frac{1}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Passaggio 7.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Passaggio 8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x^{\frac{1}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Passaggio 9

$\frac{1}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Passaggio 10

Sposta $x^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{\frac{1}{3}} \cdot 2 + x^{\frac{1}{3}} (- 2 x) + (2 x - x^{2}) \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 11.2

Applica la proprietà distributiva.

$x^{\frac{1}{3}} \cdot 2 + x^{\frac{1}{3}} (- 2 x) + 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 11.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{\frac{1}{3}}$ .

$2 \cdot x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} (- 2 x) + 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 11.3.2

Moltiplica $x^{\frac{1}{3}}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.2.1

Sposta $x$ .

$2 x^{\frac{1}{3}} + x \cdot x^{\frac{1}{3}} \cdot - 2 + 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 11.3.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{\frac{1}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 x^{\frac{1}{3}} + x^{1} x^{\frac{1}{3}} \cdot - 2 + 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 11.3.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 x^{\frac{1}{3}} + x^{1 + \frac{1}{3}} \cdot - 2 + 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 11.3.2.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$2 x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}} \cdot - 2 + 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 11.3.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{3 + 1}{3}} \cdot - 2 + 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 11.3.2.5

Somma $3$ e $1$ .

$2 x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{4}{3}} \cdot - 2 + 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 11.3.3

Sposta $- 2$ alla sinistra di $x^{\frac{4}{3}}$ .

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 \cdot x^{\frac{4}{3}} + 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 11.3.4

$2$ e $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + x \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 11.3.5

$x$ e $\frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{x \cdot 2}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 11.3.6

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 \cdot x}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 11.3.7

Sposta $x^{\frac{2}{3}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 x \cdot x^{- \frac{2}{3}}}{3} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 11.3.8

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{2}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.8.1

Sposta $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 (x^{- \frac{2}{3}} x)}{3} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 11.3.8.2

Moltiplica $x^{- \frac{2}{3}}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.8.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 (x^{- \frac{2}{3}} x^{1})}{3} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 11.3.8.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 x^{- \frac{2}{3} + 1}}{3} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 11.3.8.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 x^{- \frac{2}{3} + \frac{3}{3}}}{3} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 11.3.8.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 x^{\frac{- 2 + 3}{3}}}{3} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 11.3.8.5

Somma $- 2$ e $3$ .

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 11.3.9

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ e $x^{2}$ .

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{x^{2}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 11.3.10

Sposta $x^{\frac{2}{3}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{x^{2} x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Passaggio 11.3.11

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{- \frac{2}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.11.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{x^{2 - \frac{2}{3}}}{3}$

Passaggio 11.3.11.2

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{x^{2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3}}}{3}$

Passaggio 11.3.11.3

$2$ e $\frac{3}{3}$ .

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{x^{\frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3}}}{3}$

Passaggio 11.3.11.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{x^{\frac{2 \cdot 3 - 2}{3}}}{3}$

Passaggio 11.3.11.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.11.5.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{x^{\frac{6 - 2}{3}}}{3}$

Passaggio 11.3.11.5.2

Sottrai $2$ da $6$ .

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3}$

Passaggio 11.3.12

Per scrivere $2 x^{\frac{1}{3}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$- 2 x^{\frac{4}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3}$

Passaggio 11.3.13

$2 x^{\frac{1}{3}}$ e $\frac{3}{3}$ .

$- 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3}$

Passaggio 11.3.14

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}} \cdot 3 + 2 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3}$

Passaggio 11.3.15

Moltiplica $3$ per $2$ .

$- 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{6 x^{\frac{1}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3}$

Passaggio 11.3.16

Somma $6 x^{\frac{1}{3}}$ e $2 x^{\frac{1}{3}}$ .

$- 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3}$

Passaggio 11.3.17

Per scrivere $- 2 x^{\frac{4}{3}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$- 2 x^{\frac{4}{3}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

Passaggio 11.3.18

$- 2 x^{\frac{4}{3}}$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 2 x^{\frac{4}{3}} \cdot 3}{3} - \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

Passaggio 11.3.19

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 2 x^{\frac{4}{3}} \cdot 3 - x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

Passaggio 11.3.20

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$\frac{- 6 x^{\frac{4}{3}} - x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

Passaggio 11.3.21

Sottrai $x^{\frac{4}{3}}$ da $- 6 x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{- 7 x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

Passaggio 11.3.22

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

Passaggio 11.4

Riordina i termini.

$\frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3}$