Calcolo Esempi

$e^{\frac{- x}{2}}$

Passaggio 1

Scrivi $e^{\frac{- x}{2}}$ come funzione.

$f (x) = e^{\frac{- x}{2}}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int e^{\frac{- x}{2}} d x$

Passaggio 4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int e^{- \frac{x}{2}} d x$

Passaggio 5

Sia $u = - \frac{x}{2}$ . Allora $d u = - \frac{1}{2} d x$ , quindi $- 2 d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sia $u = - \frac{x}{2}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Differenzia $- \frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Passaggio 5.1.2

Poiché $- \frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{x}{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 1$

Passaggio 5.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{1}{2}$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int - e^{u} \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\int - e^{u} \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 6.2

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{2}$ .

$\int - e^{u} (1 \cdot 2) d u$

Passaggio 6.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\int - e^{u} \cdot 2 d u$

Passaggio 6.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\int - 2 e^{u} d u$

Passaggio 7

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$- 2 \int e^{u} d u$

Passaggio 8

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$- 2 (e^{u} + C)$

Passaggio 9

Semplifica.

$- 2 e^{u} + C$

Passaggio 10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- \frac{x}{2}$ .

$- 2 e^{- \frac{x}{2}} + C$

Passaggio 11

Riordina i termini.

$- 2 e^{- \frac{1}{2} x} + C$

Passaggio 12

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = e^{\frac{- x}{2}}$ .

$F (x) =$ $- 2 e^{- \frac{1}{2} x} + C$