Calcolo Esempi

$f (x) = \sqrt[3]{x^{2}} + 2 x$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sqrt[3]{x^{2}} + 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x^{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x^{2}}$ come $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.1.2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.1.2.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.1.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.1.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.1.2.6.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.1.2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + 2 \cdot 1$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + 2$

Passaggio 1.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} + 2$

Passaggio 1.1.4.2

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 2$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 2$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 2$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 2 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 2 = 0$

Passaggio 2.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = - 2$

Passaggio 2.3

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$3 x^{\frac{1}{3}}, 1$

Passaggio 2.3.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$3 x^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 2.4

Moltiplica per $3 x^{\frac{1}{3}}$ ciascun termine in $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = - 2$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = - 2$ per $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = - 2 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 2.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$3 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = - 2 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 2.4.2.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = - 2 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 2.4.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = - 2 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 2.4.2.3

Elimina il fattore comune di $x^{\frac{1}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = - 2 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 2.4.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$2 = - 2 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 2.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$2 = - 6 x^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 2.5

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Riscrivi l'equazione come $- 6 x^{\frac{1}{3}} = 2$ .

$- 6 x^{\frac{1}{3}} = 2$

Passaggio 2.5.2

Dividi per $- 6$ ciascun termine in $- 6 x^{\frac{1}{3}} = 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Dividi per $- 6$ ciascun termine in $- 6 x^{\frac{1}{3}} = 2$ .

$\frac{- 6 x^{\frac{1}{3}}}{- 6} = \frac{2}{- 6}$

Passaggio 2.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 6 x^{\frac{1}{3}}}{- 6} = \frac{2}{- 6}$

Passaggio 2.5.2.2.2

Dividi $x^{\frac{1}{3}}$ per $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{2}{- 6}$

Passaggio 2.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.3.1

Elimina il fattore comune di $2$ e $- 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.3.1.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{2 (1)}{- 6}$

Passaggio 2.5.2.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $- 6$ .

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 2.5.2.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 2.5.2.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{- 3}$

Passaggio 2.5.2.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x^{\frac{1}{3}} = - \frac{1}{3}$

Passaggio 2.5.3

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $3$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- \frac{1}{3})}^{3}$

Passaggio 2.5.4

Semplifica l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1.1

Semplifica ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- \frac{1}{3})}^{3}$

Passaggio 2.5.4.1.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- \frac{1}{3})}^{3}$

Passaggio 2.5.4.1.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{1} = {(- \frac{1}{3})}^{3}$

Passaggio 2.5.4.1.1.2

Semplifica.

$x = {(- \frac{1}{3})}^{3}$

Passaggio 2.5.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.2.1

Semplifica ${(- \frac{1}{3})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.2.1.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{3}$ .

$x = {(- 1)}^{3} {(\frac{1}{3})}^{3}$

Passaggio 2.5.4.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{3}$ .

$x = {(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{3^{3}}$

Passaggio 2.5.4.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$x = - \frac{1^{3}}{3^{3}}$

Passaggio 2.5.4.2.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$x = - \frac{1}{3^{3}}$

Passaggio 2.5.4.2.1.4

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$x = - \frac{1}{27}$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x^{1}}} + 2$

Passaggio 3.1.2

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}} + 2$

Passaggio 3.2

Imposta il denominatore in $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$3 \sqrt[3]{x} = 0$

Passaggio 3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al cubo entrambi i lati dell'equazione.

${(3 \sqrt[3]{x})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x}$ come $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Semplifica ${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 3.3.2.2.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 3.3.2.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 3.3.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 3.3.2.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$27 x^{1} = 0^{3}$

Passaggio 3.3.2.2.1.4

Semplifica.

$27 x = 0^{3}$

Passaggio 3.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$27 x = 0$

Passaggio 3.3.3

Dividi per $27$ ciascun termine in $27 x = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Dividi per $27$ ciascun termine in $27 x = 0$ .

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Passaggio 3.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $27$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Passaggio 3.3.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{27}$

Passaggio 3.3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.3.1

Dividi $0$ per $27$ .

$x = 0$

Passaggio 4

Risolvi $\sqrt[3]{x^{2}} + 2 x$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = - \frac{1}{27}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $- \frac{1}{27}$ a $x$ .

$\sqrt[3]{{(- \frac{1}{27})}^{2}} + 2 (- \frac{1}{27})$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{27}$ .

$\sqrt[3]{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{27})}^{2}} + 2 (- \frac{1}{27})$

Passaggio 4.1.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt[3]{1 {(\frac{1}{27})}^{2}} + 2 (- \frac{1}{27})$

Passaggio 4.1.2.1.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{27}$ .

$\sqrt[3]{1 \frac{1^{2}}{27^{2}}} + 2 (- \frac{1}{27})$

Passaggio 4.1.2.1.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\sqrt[3]{1 \frac{1}{27^{2}}} + 2 (- \frac{1}{27})$

Passaggio 4.1.2.1.5

Eleva $27$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt[3]{1 (\frac{1}{729})} + 2 (- \frac{1}{27})$

Passaggio 4.1.2.1.6

Moltiplica $\frac{1}{729}$ per $1$ .

$\sqrt[3]{\frac{1}{729}} + 2 (- \frac{1}{27})$

Passaggio 4.1.2.1.7

Riscrivi $\sqrt[3]{\frac{1}{729}}$ come $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{729}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{729}} + 2 (- \frac{1}{27})$

Passaggio 4.1.2.1.8

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$\frac{1}{\sqrt[3]{729}} + 2 (- \frac{1}{27})$

Passaggio 4.1.2.1.9

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.9.1

Riscrivi $729$ come $9^{3}$ .

$\frac{1}{\sqrt[3]{9^{3}}} + 2 (- \frac{1}{27})$

Passaggio 4.1.2.1.9.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$\frac{1}{9} + 2 (- \frac{1}{27})$

Passaggio 4.1.2.1.10

Moltiplica $2 (- \frac{1}{27})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.10.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{9} - 2 (\frac{1}{27})$

Passaggio 4.1.2.1.10.2

$- 2$ e $\frac{1}{27}$ .

$\frac{1}{9} + \frac{- 2}{27}$

Passaggio 4.1.2.1.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{9} - \frac{2}{27}$

Passaggio 4.1.2.2

Per scrivere $\frac{1}{9}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{27}$

Passaggio 4.1.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $27$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.1

Moltiplica $\frac{1}{9}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{9 \cdot 3} - \frac{2}{27}$

Passaggio 4.1.2.3.2

Moltiplica $9$ per $3$ .

$\frac{3}{27} - \frac{2}{27}$

Passaggio 4.1.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3 - 2}{27}$

Passaggio 4.1.2.5

Sottrai $2$ da $3$ .

$\frac{1}{27}$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

$\sqrt[3]{{(0)}^{2}} + 2 (0)$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\sqrt[3]{0} + 2 (0)$

Passaggio 4.2.2.1.2

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$\sqrt[3]{0^{3}} + 2 (0)$

Passaggio 4.2.2.1.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$0 + 2 (0)$

Passaggio 4.2.2.1.4

Moltiplica $2$ per $0$ .

$0 + 0$

Passaggio 4.2.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$0$

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(- \frac{1}{27}, \frac{1}{27}), (0, 0)$

Passaggio 5