Calcolo Esempi

$- \frac{1}{15} x^{6} + x^{5} - 4 x^{4}$

Passaggio 1

Scrivi $- \frac{1}{15} x^{6} + x^{5} - 4 x^{4}$ come funzione.

$f (x) = - \frac{1}{15} x^{6} + x^{5} - 4 x^{4}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- \frac{1}{15} x^{6} + x^{5} - 4 x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{15} x^{6}] + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{15} x^{6}] + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$

Passaggio 2.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{15} x^{6}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Poiché $- \frac{1}{15}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{1}{15} x^{6}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{15} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$- \frac{1}{15} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 6$ .

$- \frac{1}{15} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$

Passaggio 2.1.2.3

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$- 6 (\frac{1}{15}) x^{5} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$

Passaggio 2.1.2.4

$- 6$ e $\frac{1}{15}$ .

$\frac{- 6}{15} x^{5} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$

Passaggio 2.1.2.5

$\frac{- 6}{15}$ e $x^{5}$ .

$\frac{- 6 x^{5}}{15} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$

Passaggio 2.1.2.6

Elimina il fattore comune di $- 6$ e $15$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.6.1

Scomponi $3$ da $- 6 x^{5}$ .

$\frac{3 (- 2 x^{5})}{15} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$

Passaggio 2.1.2.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.6.2.1

Scomponi $3$ da $15$ .

$\frac{3 (- 2 x^{5})}{3 (5)} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$

Passaggio 2.1.2.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (- 2 x^{5})}{3 \cdot 5} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$

Passaggio 2.1.2.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 2 x^{5}}{5} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$

Passaggio 2.1.2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2 x^{5}}{5} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$- \frac{2 x^{5}}{5} + 5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$

Passaggio 2.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{4}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{2 x^{5}}{5} + 5 x^{4} - 4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 2.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$- \frac{2 x^{5}}{5} + 5 x^{4} - 4 (4 x^{3})$

Passaggio 2.1.4.3

Moltiplica $4$ per $- 4$ .

$f' (x) = - \frac{2 x^{5}}{5} + 5 x^{4} - 16 x^{3}$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- \frac{2 x^{5}}{5} + 5 x^{4} - 16 x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$

Passaggio 2.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{5}}{5}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Poiché $- \frac{2}{5}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{2 x^{5}}{5}$ rispetto a $x$ è $- \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$- \frac{2}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$

Passaggio 2.2.2.3

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$- 5 (\frac{2}{5}) x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$

Passaggio 2.2.2.4

$- 5$ e $\frac{2}{5}$ .

$\frac{- 5 \cdot 2}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$

Passaggio 2.2.2.5

Moltiplica $- 5$ per $2$ .

$\frac{- 10}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$

Passaggio 2.2.2.6

$\frac{- 10}{5}$ e $x^{4}$ .

$\frac{- 10 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$

Passaggio 2.2.2.7

Elimina il fattore comune di $- 10$ e $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.7.1

Scomponi $5$ da $- 10 x^{4}$ .

$\frac{5 (- 2 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$

Passaggio 2.2.2.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.7.2.1

Scomponi $5$ da $5$ .

$\frac{5 (- 2 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$

Passaggio 2.2.2.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 (- 2 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$

Passaggio 2.2.2.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 2 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$

Passaggio 2.2.2.7.2.4

Dividi $- 2 x^{4}$ per $1$ .

$- 2 x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$

Passaggio 2.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{4}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 2 x^{4} + 5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$- 2 x^{4} + 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$

Passaggio 2.2.3.3

Moltiplica $4$ per $5$ .

$- 2 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$

Passaggio 2.2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Poiché $- 16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 16 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 2 x^{4} + 20 x^{3} - 16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- 2 x^{4} + 20 x^{3} - 16 (3 x^{2})$

Passaggio 2.2.4.3

Moltiplica $3$ per $- 16$ .

$f'' (x) = - 2 x^{4} + 20 x^{3} - 48 x^{2}$

Passaggio 2.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 2 x^{4} + 20 x^{3} - 48 x^{2}$ .

$- 2 x^{4} + 20 x^{3} - 48 x^{2}$

Passaggio 3

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $- 2 x^{4} + 20 x^{3} - 48 x^{2} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$- 2 x^{4} + 20 x^{3} - 48 x^{2} = 0$

Passaggio 3.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Scomponi $- 2 x^{2}$ da $- 2 x^{4} + 20 x^{3} - 48 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Scomponi $- 2 x^{2}$ da $- 2 x^{4}$ .

$- 2 x^{2} x^{2} + 20 x^{3} - 48 x^{2} = 0$

Passaggio 3.2.1.2

Scomponi $- 2 x^{2}$ da $20 x^{3}$ .

$- 2 x^{2} x^{2} - 2 x^{2} (- 10 x) - 48 x^{2} = 0$

Passaggio 3.2.1.3

Scomponi $- 2 x^{2}$ da $- 48 x^{2}$ .

$- 2 x^{2} x^{2} - 2 x^{2} (- 10 x) - 2 x^{2} \cdot 24 = 0$

Passaggio 3.2.1.4

Scomponi $- 2 x^{2}$ da $- 2 x^{2} (x^{2}) - 2 x^{2} (- 10 x)$ .

$- 2 x^{2} (x^{2} - 10 x) - 2 x^{2} \cdot 24 = 0$

Passaggio 3.2.1.5

Scomponi $- 2 x^{2}$ da $- 2 x^{2} (x^{2} - 10 x) - 2 x^{2} (24)$ .

$- 2 x^{2} (x^{2} - 10 x + 24) = 0$

Passaggio 3.2.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Scomponi $x^{2} - 10 x + 24$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $24$ e la cui somma è $- 10$ .

$- 6, - 4$

Passaggio 3.2.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$- 2 x^{2} ((x - 6) (x - 4)) = 0$

Passaggio 3.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- 2 x^{2} (x - 6) (x - 4) = 0$

Passaggio 3.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 6 = 0$

$x - 4 = 0$

Passaggio 3.4

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 3.4.2

Risolvi $x^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 3.4.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 3.4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 3.4.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 3.5

Imposta $x - 6$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Imposta $x - 6$ uguale a $0$ .

$x - 6 = 0$

Passaggio 3.5.2

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 6$

Passaggio 3.6

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 3.6.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 3.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- 2 x^{2} (x - 6) (x - 4) = 0$ vera.

$x = 0, 6, 4$

Passaggio 4

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $0$ in $f (x) = - \frac{1}{15} x^{6} + x^{5} - 4 x^{4}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = - \frac{1}{15} \cdot {(0)}^{6} + {(0)}^{5} - 4 {(0)}^{4}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = - \frac{1}{15} \cdot 0 + {(0)}^{5} - 4 {(0)}^{4}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Moltiplica $- \frac{1}{15} \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.2.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$f (0) = 0 (\frac{1}{15}) + {(0)}^{5} - 4 {(0)}^{4}$

Passaggio 4.1.2.1.2.2

Moltiplica $0$ per $\frac{1}{15}$ .

$f (0) = 0 + {(0)}^{5} - 4 {(0)}^{4}$

Passaggio 4.1.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 4 {(0)}^{4}$

Passaggio 4.1.2.1.4

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 4 \cdot 0$

Passaggio 4.1.2.1.5

Moltiplica $- 4$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Passaggio 4.1.2.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0$

Passaggio 4.1.2.3

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 4.2

Il punto trovato sostituendo $0$ in $f (x) = - \frac{1}{15} x^{6} + x^{5} - 4 x^{4}$ è $(0, 0)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(0, 0)$

Passaggio 4.3

Sostituisci $6$ in $f (x) = - \frac{1}{15} x^{6} + x^{5} - 4 x^{4}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $6$ nell'espressione.

$f (6) = - \frac{1}{15} \cdot {(6)}^{6} + {(6)}^{5} - 4 {(6)}^{4}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Eleva $6$ alla potenza di $6$ .

$f (6) = - \frac{1}{15} \cdot 46656 + {(6)}^{5} - 4 {(6)}^{4}$

Passaggio 4.3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{15}$ nel numeratore.

$f (6) = \frac{- 1}{15} \cdot 46656 + {(6)}^{5} - 4 {(6)}^{4}$

Passaggio 4.3.2.1.2.2

Scomponi $3$ da $15$ .

$f (6) = \frac{- 1}{3 (5)} \cdot 46656 + {(6)}^{5} - 4 {(6)}^{4}$

Passaggio 4.3.2.1.2.3

Scomponi $3$ da $46656$ .

$f (6) = \frac{- 1}{3 \cdot 5} \cdot (3 \cdot 15552) + {(6)}^{5} - 4 {(6)}^{4}$

Passaggio 4.3.2.1.2.4

Elimina il fattore comune.

$f (6) = \frac{- 1}{3 \cdot 5} \cdot (3 \cdot 15552) + {(6)}^{5} - 4 {(6)}^{4}$

Passaggio 4.3.2.1.2.5

Riscrivi l'espressione.

$f (6) = \frac{- 1}{5} \cdot 15552 + {(6)}^{5} - 4 {(6)}^{4}$

Passaggio 4.3.2.1.3

$\frac{- 1}{5}$ e $15552$ .

$f (6) = \frac{- 1 \cdot 15552}{5} + {(6)}^{5} - 4 {(6)}^{4}$

Passaggio 4.3.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $15552$ .

$f (6) = \frac{- 15552}{5} + {(6)}^{5} - 4 {(6)}^{4}$

Passaggio 4.3.2.1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (6) = - \frac{15552}{5} + {(6)}^{5} - 4 {(6)}^{4}$

Passaggio 4.3.2.1.6

Eleva $6$ alla potenza di $5$ .

$f (6) = - \frac{15552}{5} + 7776 - 4 {(6)}^{4}$

Passaggio 4.3.2.1.7

Eleva $6$ alla potenza di $4$ .

$f (6) = - \frac{15552}{5} + 7776 - 4 \cdot 1296$

Passaggio 4.3.2.1.8

Moltiplica $- 4$ per $1296$ .

$f (6) = - \frac{15552}{5} + 7776 - 5184$

Passaggio 4.3.2.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Scrivi $7776$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (6) = - \frac{15552}{5} + \frac{7776}{1} - 5184$

Passaggio 4.3.2.2.2

Moltiplica $\frac{7776}{1}$ per $\frac{5}{5}$ .

$f (6) = - \frac{15552}{5} + \frac{7776}{1} \cdot \frac{5}{5} - 5184$

Passaggio 4.3.2.2.3

Moltiplica $\frac{7776}{1}$ per $\frac{5}{5}$ .

$f (6) = - \frac{15552}{5} + \frac{7776 \cdot 5}{5} - 5184$

Passaggio 4.3.2.2.4

Scrivi $- 5184$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (6) = - \frac{15552}{5} + \frac{7776 \cdot 5}{5} + \frac{- 5184}{1}$

Passaggio 4.3.2.2.5

Moltiplica $\frac{- 5184}{1}$ per $\frac{5}{5}$ .

$f (6) = - \frac{15552}{5} + \frac{7776 \cdot 5}{5} + \frac{- 5184}{1} \cdot \frac{5}{5}$

Passaggio 4.3.2.2.6

Moltiplica $\frac{- 5184}{1}$ per $\frac{5}{5}$ .

$f (6) = - \frac{15552}{5} + \frac{7776 \cdot 5}{5} + \frac{- 5184 \cdot 5}{5}$

Passaggio 4.3.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (6) = \frac{- 15552 + 7776 \cdot 5 - 5184 \cdot 5}{5}$

Passaggio 4.3.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.4.1

Moltiplica $7776$ per $5$ .

$f (6) = \frac{- 15552 + 38880 - 5184 \cdot 5}{5}$

Passaggio 4.3.2.4.2

Moltiplica $- 5184$ per $5$ .

$f (6) = \frac{- 15552 + 38880 - 25920}{5}$

Passaggio 4.3.2.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.5.1

Somma $- 15552$ e $38880$ .

$f (6) = \frac{23328 - 25920}{5}$

Passaggio 4.3.2.5.2

Sottrai $25920$ da $23328$ .

$f (6) = \frac{- 2592}{5}$

Passaggio 4.3.2.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (6) = - \frac{2592}{5}$

Passaggio 4.3.2.6

La risposta finale è $- \frac{2592}{5}$ .

$- \frac{2592}{5}$

Passaggio 4.4

Il punto trovato sostituendo $6$ in $f (x) = - \frac{1}{15} x^{6} + x^{5} - 4 x^{4}$ è $(6, - \frac{2592}{5})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(6, - \frac{2592}{5})$

Passaggio 4.5

Sostituisci $4$ in $f (x) = - \frac{1}{15} x^{6} + x^{5} - 4 x^{4}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f (4) = - \frac{1}{15} \cdot {(4)}^{6} + {(4)}^{5} - 4 {(4)}^{4}$

Passaggio 4.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $6$ .

$f (4) = - \frac{1}{15} \cdot 4096 + {(4)}^{5} - 4 {(4)}^{4}$

Passaggio 4.5.2.1.2

Moltiplica $- \frac{1}{15} \cdot 4096$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1.2.1

Moltiplica $4096$ per $- 1$ .

$f (4) = - 4096 (\frac{1}{15}) + {(4)}^{5} - 4 {(4)}^{4}$

Passaggio 4.5.2.1.2.2

$- 4096$ e $\frac{1}{15}$ .

$f (4) = \frac{- 4096}{15} + {(4)}^{5} - 4 {(4)}^{4}$

Passaggio 4.5.2.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (4) = - \frac{4096}{15} + {(4)}^{5} - 4 {(4)}^{4}$

Passaggio 4.5.2.1.4

Eleva $4$ alla potenza di $5$ .

$f (4) = - \frac{4096}{15} + 1024 - 4 {(4)}^{4}$

Passaggio 4.5.2.1.5

Eleva $4$ alla potenza di $4$ .

$f (4) = - \frac{4096}{15} + 1024 - 4 \cdot 256$

Passaggio 4.5.2.1.6

Moltiplica $- 4$ per $256$ .

$f (4) = - \frac{4096}{15} + 1024 - 1024$

Passaggio 4.5.2.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.2.1

Scrivi $1024$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (4) = - \frac{4096}{15} + \frac{1024}{1} - 1024$

Passaggio 4.5.2.2.2

Moltiplica $\frac{1024}{1}$ per $\frac{15}{15}$ .

$f (4) = - \frac{4096}{15} + \frac{1024}{1} \cdot \frac{15}{15} - 1024$

Passaggio 4.5.2.2.3

Moltiplica $\frac{1024}{1}$ per $\frac{15}{15}$ .

$f (4) = - \frac{4096}{15} + \frac{1024 \cdot 15}{15} - 1024$

Passaggio 4.5.2.2.4

Scrivi $- 1024$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (4) = - \frac{4096}{15} + \frac{1024 \cdot 15}{15} + \frac{- 1024}{1}$

Passaggio 4.5.2.2.5

Moltiplica $\frac{- 1024}{1}$ per $\frac{15}{15}$ .

$f (4) = - \frac{4096}{15} + \frac{1024 \cdot 15}{15} + \frac{- 1024}{1} \cdot \frac{15}{15}$

Passaggio 4.5.2.2.6

Moltiplica $\frac{- 1024}{1}$ per $\frac{15}{15}$ .

$f (4) = - \frac{4096}{15} + \frac{1024 \cdot 15}{15} + \frac{- 1024 \cdot 15}{15}$

Passaggio 4.5.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (4) = \frac{- 4096 + 1024 \cdot 15 - 1024 \cdot 15}{15}$

Passaggio 4.5.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.4.1

Moltiplica $1024$ per $15$ .

$f (4) = \frac{- 4096 + 15360 - 1024 \cdot 15}{15}$

Passaggio 4.5.2.4.2

Moltiplica $- 1024$ per $15$ .

$f (4) = \frac{- 4096 + 15360 - 15360}{15}$

Passaggio 4.5.2.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.5.1

Somma $- 4096$ e $15360$ .

$f (4) = \frac{11264 - 15360}{15}$

Passaggio 4.5.2.5.2

Sottrai $15360$ da $11264$ .

$f (4) = \frac{- 4096}{15}$

Passaggio 4.5.2.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (4) = - \frac{4096}{15}$

Passaggio 4.5.2.6

La risposta finale è $- \frac{4096}{15}$ .

$- \frac{4096}{15}$

Passaggio 4.6

Il punto trovato sostituendo $4$ in $f (x) = - \frac{1}{15} x^{6} + x^{5} - 4 x^{4}$ è $(4, - \frac{4096}{15})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(4, - \frac{4096}{15})$

Passaggio 4.7

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(0, 0), (6, - \frac{2592}{5}), (4, - \frac{4096}{15})$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, 0) \cup (0, 4) \cup (4, 6) \cup (6, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.1$ nell'espressione.

$f'' (- 0.1) = - 2 {(- 0.1)}^{4} + 20 {(- 0.1)}^{3} - 48 {(- 0.1)}^{2}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $- 0.1$ alla potenza di $4$ .

$f'' (- 0.1) = - 2 \cdot 0.0001 + 20 {(- 0.1)}^{3} - 48 {(- 0.1)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $0.0001$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.0002 + 20 {(- 0.1)}^{3} - 48 {(- 0.1)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.3

Eleva $- 0.1$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.0002 + 20 \cdot - 0.001 - 48 {(- 0.1)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.4

Moltiplica $20$ per $- 0.001$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.0002 - 0.02 - 48 {(- 0.1)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.5

Eleva $- 0.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.0002 - 0.02 - 48 \cdot 0.01$

Passaggio 6.2.1.6

Moltiplica $- 48$ per $0.01$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.0002 - 0.02 - 0.48$

Passaggio 6.2.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Sottrai $0.02$ da $- 0.0002$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.0202 - 0.48$

Passaggio 6.2.2.2

Sottrai $0.48$ da $- 0.0202$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.5002$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 0.5002$ .

$- 0.5002$

Passaggio 6.3

Per $- 0.1$ , la derivata seconda è $- 0.5002$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty, 0)$ .

Decrescente su $(- \infty, 0)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, 4)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f'' (2) = - 2 {(2)}^{4} + 20 {(2)}^{3} - 48 {(2)}^{2}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$f'' (2) = - 2 \cdot 16 + 20 {(2)}^{3} - 48 {(2)}^{2}$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $16$ .

$f'' (2) = - 32 + 20 {(2)}^{3} - 48 {(2)}^{2}$

Passaggio 7.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f'' (2) = - 32 + 20 \cdot 8 - 48 {(2)}^{2}$

Passaggio 7.2.1.4

Moltiplica $20$ per $8$ .

$f'' (2) = - 32 + 160 - 48 {(2)}^{2}$

Passaggio 7.2.1.5

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f'' (2) = - 32 + 160 - 48 \cdot 4$

Passaggio 7.2.1.6

Moltiplica $- 48$ per $4$ .

$f'' (2) = - 32 + 160 - 192$

Passaggio 7.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Somma $- 32$ e $160$ .

$f'' (2) = 128 - 192$

Passaggio 7.2.2.2

Sottrai $192$ da $128$ .

$f'' (2) = - 64$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $- 64$ .

$- 64$

Passaggio 7.3

Per $2$ , la derivata seconda è $- 64$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(0, 4)$ .

Decrescente su $(0, 4)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(4, 6)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $5$ nell'espressione.

$f'' (5) = - 2 {(5)}^{4} + 20 {(5)}^{3} - 48 {(5)}^{2}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Eleva $5$ alla potenza di $4$ .

$f'' (5) = - 2 \cdot 625 + 20 {(5)}^{3} - 48 {(5)}^{2}$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $625$ .

$f'' (5) = - 1250 + 20 {(5)}^{3} - 48 {(5)}^{2}$

Passaggio 8.2.1.3

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$f'' (5) = - 1250 + 20 \cdot 125 - 48 {(5)}^{2}$

Passaggio 8.2.1.4

Moltiplica $20$ per $125$ .

$f'' (5) = - 1250 + 2500 - 48 {(5)}^{2}$

Passaggio 8.2.1.5

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$f'' (5) = - 1250 + 2500 - 48 \cdot 25$

Passaggio 8.2.1.6

Moltiplica $- 48$ per $25$ .

$f'' (5) = - 1250 + 2500 - 1200$

Passaggio 8.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Somma $- 1250$ e $2500$ .

$f'' (5) = 1250 - 1200$

Passaggio 8.2.2.2

Sottrai $1200$ da $1250$ .

$f'' (5) = 50$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $50$ .

$50$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $5$ , la derivata seconda è $50$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(4, 6)$ .

Crescente su $(4, 6)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 9

Sostituisci un valore dell'intervallo $(6, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sostituisci la variabile $x$ con $6.1$ nell'espressione.

$f'' (6.1) = - 2 {(6.1)}^{4} + 20 {(6.1)}^{3} - 48 {(6.1)}^{2}$

Passaggio 9.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1

Eleva $6.1$ alla potenza di $4$ .

$f'' (6.1) = - 2 \cdot 1384.5841 + 20 {(6.1)}^{3} - 48 {(6.1)}^{2}$

Passaggio 9.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $1384.5841$ .

$f'' (6.1) = - 2769.1682 + 20 {(6.1)}^{3} - 48 {(6.1)}^{2}$

Passaggio 9.2.1.3

Eleva $6.1$ alla potenza di $3$ .

$f'' (6.1) = - 2769.1682 + 20 \cdot 226.981 - 48 {(6.1)}^{2}$

Passaggio 9.2.1.4

Moltiplica $20$ per $226.981$ .

$f'' (6.1) = - 2769.1682 + 4539.62 - 48 {(6.1)}^{2}$

Passaggio 9.2.1.5

Eleva $6.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (6.1) = - 2769.1682 + 4539.62 - 48 \cdot 37.21$

Passaggio 9.2.1.6

Moltiplica $- 48$ per $37.21$ .

$f'' (6.1) = - 2769.1682 + 4539.62 - 1786.08$

Passaggio 9.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Somma $- 2769.1682$ e $4539.62$ .

$f'' (6.1) = 1770.4518 - 1786.08$

Passaggio 9.2.2.2

Sottrai $1786.08$ da $1770.4518$ .

$f'' (6.1) = - 15.6282$

Passaggio 9.2.3

La risposta finale è $- 15.6282$ .

$- 15.6282$

Passaggio 9.3

Per $6.1$ , la derivata seconda è $- 15.6282$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(6, \infty)$ .

Decrescente su $(6, \infty)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 10

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso i punti di flesso sono $(4, - \frac{4096}{15}), (6, - \frac{2592}{5})$ .

$(4, - \frac{4096}{15}), (6, - \frac{2592}{5})$

Passaggio 11