Calcolo Esempi

$\sqrt[3]{x + \sqrt{x^{5}}}$

Passaggio 1

Riscrivi $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x + \sqrt{x^{5}}}]$ come $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x + x^{2} \sqrt{x}}]$ .

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Passaggio 1.1

Riscrivi $x^{5}$ come ${(x^{2})}^{2} x$ .

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Passaggio 1.1.1

Metti in evidenza $x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x + \sqrt{x^{4} x}}]$

Passaggio 1.1.2

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x + \sqrt{{(x^{2})}^{2} x}}]$

Passaggio 1.2

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x + x^{2} \sqrt{x}}]$

Passaggio 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x + x^{2} x^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 3

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x + x^{2 + \frac{1}{2}}}]$

Passaggio 3.2

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x + x^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}]$

Passaggio 3.3

$2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x + x^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}}]$

Passaggio 3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x + x^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}}}]$

Passaggio 3.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.5.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x + x^{\frac{4 + 1}{2}}}]$

Passaggio 3.5.2

Somma $4$ e $1$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x + x^{\frac{5}{2}}}]$

Passaggio 4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x + x^{\frac{5}{2}}}$ come ${(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = x + x^{\frac{5}{2}}$ .

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Passaggio 5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

Passaggio 5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

Passaggio 5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + x^{\frac{5}{2}}$ .

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Passaggio 5.3.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{3} {(x + x^{2 + \frac{1}{2}})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

Passaggio 5.3.2

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} {(x + x^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

Passaggio 5.3.3

$2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} {(x + x^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

Passaggio 5.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{3} {(x + x^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

Passaggio 5.3.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.3.5.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{1}{3} {(x + x^{\frac{4 + 1}{2}})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

Passaggio 5.3.5.2

Somma $4$ e $1$ .

$\frac{1}{3} {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

Passaggio 6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

Passaggio 7

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

Passaggio 8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{3} {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

Passaggio 9

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 9.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{1}{3} {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

Passaggio 9.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$\frac{1}{3} {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

Passaggio 10

Riduci le frazioni.

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Passaggio 10.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{3} {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

Passaggio 10.2

$\frac{1}{3}$ e ${(x + x^{\frac{5}{2}})}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(x + x^{\frac{5}{2}})}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

Passaggio 10.3

Sposta ${(x + x^{\frac{5}{2}})}^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

Passaggio 11

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + x^{\frac{5}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

$\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}])$

Passaggio 12

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}])$

Passaggio 13

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{5}{2}$ .

$\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1})$

Passaggio 14

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 15

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 16

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 17

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 17.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}})$

Passaggio 17.2

Sottrai $2$ da $5$ .

$\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 18

$\frac{5}{2}$ e $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2})$

Passaggio 19

Semplifica.

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Passaggio 19.1

Riordina i fattori di $\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2})$ .

$(1 + \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}) \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 19.2

Moltiplica $1 + \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ per $\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1 + \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 19.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 19.3.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{\frac{2}{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 19.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{2 + 5 x^{\frac{3}{2}}}{2}}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 19.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{2 + 5 x^{\frac{3}{2}}}{2} \cdot \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 19.5

Moltiplica $\frac{2 + 5 x^{\frac{3}{2}}}{2} \cdot \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}}$ .

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Passaggio 19.5.1

Moltiplica $\frac{2 + 5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ per $\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2 + 5 x^{\frac{3}{2}}}{2 (3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}})}$

Passaggio 19.5.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{2 + 5 x^{\frac{3}{2}}}{6 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}}$