Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{1}{12} x^{4} - \frac{1}{2} x^{3} + x^{2} + 2 x - 1$

Passaggio 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{12} x^{4} - \frac{1}{2} x^{3} + x^{2} + 2 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{12} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{12} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{12} x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Poiché $\frac{1}{12}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{12} x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{12} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{12} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{1}{12} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.1.2.3

$4$ e $\frac{1}{12}$ .

$\frac{4}{12} x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.1.2.4

$\frac{4}{12}$ e $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{12} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.1.2.5

Elimina il fattore comune di $4$ e $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.5.1

Scomponi $4$ da $4 x^{3}$ .

$\frac{4 (x^{3})}{12} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.1.2.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.5.2.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$\frac{4 x^{3}}{4 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.1.2.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x^{3}}{4 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.1.2.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Poiché $- \frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{1}{2} x^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.1.3.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{x^{3}}{3} - 3 (\frac{1}{2}) x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.1.3.4

$- 3$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{3}}{3} + \frac{- 3}{2} x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.1.3.5

$\frac{- 3}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{x^{3}}{3} + \frac{- 3 x^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.1.3.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.1.5

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.5.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + 2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.1.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + 2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.1.5.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + 2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.1.6

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.6.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + 2 x + 2 + 0$

Passaggio 1.1.1.6.2

Somma $\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + 2 x + 2$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + 2 x + 2$

Passaggio 1.1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + 2 x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x^{3}}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.2.2.3

$3$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.2.2.4

$\frac{3}{3}$ e $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.2.2.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.2.2.5.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Poiché $- \frac{3}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{3 x^{2}}{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{2} - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{2} - \frac{3}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.2.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$x^{2} - 2 (\frac{3}{2}) x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.2.3.4

$- 2$ e $\frac{3}{2}$ .

$x^{2} + \frac{- 2 \cdot 3}{2} x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.2.3.5

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$x^{2} + \frac{- 6}{2} x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.2.3.6

$\frac{- 6}{2}$ e $x$ .

$x^{2} + \frac{- 6 x}{2} + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.2.3.7

Elimina il fattore comune di $- 6$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.7.1

Scomponi $2$ da $- 6 x$ .

$x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2} + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.2.3.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.7.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.2.3.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.2.3.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} + \frac{- 3 x}{1} + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.2.3.7.2.4

Dividi $- 3 x$ per $1$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} - 3 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{2} - 3 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.2.4.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x^{2} - 3 x + 2 + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.2.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x^{2} - 3 x + 2 + 0$

Passaggio 1.1.2.5.2

Somma $x^{2} - 3 x + 2$ e $0$ .

$f'' (x) = x^{2} - 3 x + 2$

Passaggio 1.1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $x^{2} - 3 x + 2$ .

$x^{2} - 3 x + 2$

Passaggio 1.2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$x^{2} - 3 x + 2 = 0$

Passaggio 1.2.2

Scomponi $x^{2} - 3 x + 2$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $2$ e la cui somma è $- 3$ .

$- 2, - 1$

Passaggio 1.2.2.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$(x - 2) (x - 1) = 0$

Passaggio 1.2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

Passaggio 1.2.4

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 1.2.4.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 1.2.5

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 1.2.5.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 1.2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 2) (x - 1) = 0$ vera.

$x = 2, 1$

Passaggio 2

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 3

Crea intervalli attorno ai valori di $x$ per cui la derivata seconda è zero o indefinita.

$(- \infty, 1) \cup (1, 2) \cup (2, \infty)$

Passaggio 4

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- \infty, 1)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f'' (0) = {(0)}^{2} - 3 \cdot 0 + 2$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f'' (0) = 0 - 3 \cdot 0 + 2$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica $- 3$ per $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 2$

Passaggio 4.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$f'' (0) = 0 + 2$

Passaggio 4.2.2.2

Somma $0$ e $2$ .

$f'' (0) = 2$

Passaggio 4.2.3

La risposta finale è $2$ .

$2$

Passaggio 4.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(- \infty, 1)$ perché $f'' (0)$ è positivo.

Funzione convessa su $(- \infty, 1)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 5

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(1, 2)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1.5$ nell'espressione.

$f'' (1.5) = {(1.5)}^{2} - 3 \cdot 1.5 + 2$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $1.5$ alla potenza di $2$ .

$f'' (1.5) = 2.25 - 3 \cdot 1.5 + 2$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $- 3$ per $1.5$ .

$f'' (1.5) = 2.25 - 4.5 + 2$

Passaggio 5.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Sottrai $4.5$ da $2.25$ .

$f'' (1.5) = - 2.25 + 2$

Passaggio 5.2.2.2

Somma $- 2.25$ e $2$ .

$f'' (1.5) = - 0.25$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $- 0.25$ .

$- 0.25$

Passaggio 5.3

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo $(1, 2)$ perché $f'' (1.5)$ è negativo.

Funzione concava su $(1, 2)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 6

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(2, \infty)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f'' (4) = {(4)}^{2} - 3 \cdot 4 + 2$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f'' (4) = 16 - 3 \cdot 4 + 2$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $- 3$ per $4$ .

$f'' (4) = 16 - 12 + 2$

Passaggio 6.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Sottrai $12$ da $16$ .

$f'' (4) = 4 + 2$

Passaggio 6.2.2.2

Somma $4$ e $2$ .

$f'' (4) = 6$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $6$ .

$6$

Passaggio 6.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(2, \infty)$ perché $f'' (4)$ è positivo.

Funzione convessa su $(2, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 7

Il grafico è una funzione concava quando la derivata seconda è negativa, mentre è una funzione convessa quando la derivata seconda è positiva.

Funzione convessa su $(- \infty, 1)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Funzione concava su $(1, 2)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Funzione convessa su $(2, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 8