Calcolo Esempi

$x + \sqrt{1 + x^{2}}$

Passaggio 1

Differenzia.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + \sqrt{1 + x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 + x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 + x^{2}}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 + x^{2}}]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [\sqrt{1 + x^{2}}]$ .

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Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{1 + x^{2}}$ come ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 1 + x^{2}$ .

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Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $1 + x^{2}$ .

$1 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + x^{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Passaggio 2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 x)$

Passaggio 2.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 2 x)$

Passaggio 2.7

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 x)$

Passaggio 2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 x)$

Passaggio 2.9

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.9.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 2 x)$

Passaggio 2.9.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 2 x)$

Passaggio 2.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 + 2 x)$

Passaggio 2.11

Somma $0$ e $2 x$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (2 x)$

Passaggio 2.12

$\frac{1}{2}$ e ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{{(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 x)$

Passaggio 2.13

$2$ e $\frac{{(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$1 + \frac{2 {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} x$

Passaggio 2.14

$\frac{2 {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $x$ .

$1 + \frac{2 {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} x}{2}$

Passaggio 2.15

Sposta ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{2 x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.16

Elimina il fattore comune.

$1 + \frac{2 x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.17

Riscrivi l'espressione.

$1 + \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3

Riordina i termini.

$\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 1$