Calcolo Esempi

${(1 + \sin (x))}^{2}$

Passaggio 1

Scrivi ${(1 + \sin (x))}^{2}$ come funzione.

$f (x) = {(1 + \sin (x))}^{2}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int {(1 + \sin (x))}^{2} d x$

Passaggio 4

Espandi ${(1 + \sin (x))}^{2}$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi ${(1 + \sin (x))}^{2}$ come $(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))$ .

$\int (1 + \sin (x)) (1 + \sin (x)) d x$

Passaggio 4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\int 1 (1 + \sin (x)) + \sin (x) (1 + \sin (x)) d x$

Passaggio 4.3

Applica la proprietà distributiva.

$\int 1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) (1 + \sin (x)) d x$

Passaggio 4.4

Applica la proprietà distributiva.

$\int 1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x) d x$

Passaggio 4.5

Riordina $\sin (x)$ e $1$ .

$\int 1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + 1 \cdot \sin (x) + \sin (x) \sin (x) d x$

Passaggio 4.6

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\int 1 + 1 \sin (x) + 1 \sin (x) + \sin (x) \sin (x) d x$

Passaggio 4.7

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$\int 1 + \sin (x) + 1 \sin (x) + \sin (x) \sin (x) d x$

Passaggio 4.8

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$\int 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) \sin (x) d x$

Passaggio 4.9

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\int 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x) d x$

Passaggio 4.10

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\int 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) d x$

Passaggio 4.11

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int 1 + \sin (x) + \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} d x$

Passaggio 4.12

Somma $1$ e $1$ .

$\int 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{2} (x) d x$

Passaggio 4.13

Somma $\sin (x)$ e $\sin (x)$ .

$\int 1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) d x$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int d x + \int 2 \sin (x) d x + \int \sin^{2} (x) d x$

Passaggio 6

Applica la regola costante.

$x + C + \int 2 \sin (x) d x + \int \sin^{2} (x) d x$

Passaggio 7

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$x + C + 2 \int \sin (x) d x + \int \sin^{2} (x) d x$

Passaggio 8

L'integrale di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $- \cos (x)$ .

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \int \sin^{2} (x) d x$

Passaggio 9

Usa la formula di bisezione per riscrivere $\sin^{2} (x)$ come $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \int \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x$

Passaggio 10

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x$

Passaggio 11

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} (\int d x + \int - \cos (2 x) d x)$

Passaggio 12

Applica la regola costante.

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C + \int - \cos (2 x) d x)$

Passaggio 13

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C - \int \cos (2 x) d x)$

Passaggio 14

Sia $u = 2 x$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 14.1

Sia $u = 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 14.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 14.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 14.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 14.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 14.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Passaggio 15

$\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Passaggio 16

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

Passaggio 17

L'integrale di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $\sin (u)$ .

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Passaggio 18

Semplifica.

$x - 2 \cos (x) + \frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Passaggio 19

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$x - 2 \cos (x) + \frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

Passaggio 20

Semplifica.

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Passaggio 20.1

$\sin (2 x)$ e $\frac{1}{2}$ .

$x - 2 \cos (x) + \frac{1}{2} (x - \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Passaggio 20.2

Applica la proprietà distributiva.

$x - 2 \cos (x) + \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Passaggio 20.3

$\frac{1}{2}$ e $x$ .

$x - 2 \cos (x) + \frac{x}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Passaggio 20.4

Moltiplica $\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2})$ .

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Passaggio 20.4.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$x - 2 \cos (x) + \frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

Passaggio 20.4.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x - 2 \cos (x) + \frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Passaggio 21

Riordina i termini.

$x - 2 \cos (x) + \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Passaggio 22

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = {(1 + \sin (x))}^{2}$ .

$F (x) =$ $x - 2 \cos (x) + \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$